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1、专题:数列的综合应用【知识概要】1.数列求和的常用方法(1)公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列;(2)裂项相消法:适用于其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等;(3)错位相减法:适用于其中{}是等差数列,是各项不为0的等比数列。(4)倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.(5)分组求和法(6)累加(乘)法等。2.常用结论(1)1+2+3+...+n=(2)1+3+5+...+(2n-1)=(3)(4)(5)(6)3.高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数
2、列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。【例题精讲】【题型1】数列创新题例1、设正项等比数列的首项,前n项和为,且。(Ⅰ)求的通项;(Ⅱ)求的前n项和。解:(Ⅰ)由得即可得因为,所以解得,因而(Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故则数列的前n项和前两式相减,得即例2、数列的前项和为,已知(Ⅰ)写出与的递推关
3、系式,并求关于的表达式;(Ⅱ)设,求数列的前项和。解:由得:,即,所以,对成立。由,,…,相加得:,又,所以,当时,也成立。(Ⅱ)。而,,例3、已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列:(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an};(I)解法一:故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}例4、在等差数列中,公差的等比中项.已知数列成等比数列,求数列的通项解:由题意得:……………1分即
4、…………3分又…………4分又成等比数列,∴该数列的公比为,………6分所以………8分又……………………………………10分所以数列的通项为……………………………12分【题型2】数列与不等式的综合题例5、已知有穷数列共有2项(整数≥2),首项=2.设该数列的前项和为,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常数>1.(1)求证:数列是等比数列;(2)若=2,数列满足=(=1,2,┅,2),求数列的通项公式;(3)若(2)中的数列满足不等式
5、-
6、+
7、-
8、+┅+
9、-
10、+
11、-
12、≤4,求的值.(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则=a;2≤n≤2k-1时,an+1=(a-1)Sn+2,
13、an=(a-1)Sn-1+2,an+1-an=(a-1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.(2)解:由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).(3)设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<;当n≥k+1时,bn>.原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)==.当≤4,得k2-8k+4≤0,4-2≤k≤4+2,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.【题型3】数列与函数的综合题例6、已知二次函数的图像经
14、过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。(Ⅰ)、求数列的通项公式;(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;点评:本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所
15、以,an=6n-5()(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,故Tn===(1-).因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.例7、设,定义,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若,解:(1)=2,,,∴∴,∴数列{an}上首项为,公比为的等比数列,(2)两式相减得:例8、设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算