[原创]专题数列的综合应用(含答案)

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1、专题：数列的综合应用【知识概要】1.数列求和的常用方法(1)公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；(2)裂项相消法：适用于J—其中｛d”｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、anan+l]含阶乘的数列等；(3)错位相减法：适用于｛anbn｝其中｛色｝是等差数列,｛仇｝是各项不为0的等比数列。(4)倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.(5)分组求和法(6)累加(乘)法等。2.常用结论(1)£k=1=1l+2+3+...+n=空凹2(2)£(2R—l)=l+3+5+...+(2n・l)=用*=1—n(n+1)(3)£疋=1’+2

2、’+•••+“，Jt=l(4)l2+22+32+••・+/=丄n(n+1)(2/?+1)6l3丿==—I)n(n+1)nn+1n｛n+2)2nn+2(6)丄=丄(丄一丄)(p

3、综合作为最后一题难度鮫大。【例题精讲】【题型1】数列创新题例1、设正项等比数列｛色｝的首项=-,前n项和为S“,且210530-(210+1)520+S10=Oo(I)求2｛色｝的通项;(II)求｛沾“｝的前n项和人。解：(I)由210530-(210+l)S20+510=0得2,0(530-S20)=520-510,即2l0(tZ2j+^22+^30)=+^12+•••+^20，”一1门」彳导2"°•+d]2H心0)=%1+a2^20"因为乙〉0,所以2,0^10=1,解得9=丄，因而j=a、q(II)因为⑺”｝是首项①二丄、公比q=-的等比数列，故丄(1一厶)]S”

4、=f—=1-刃'沾“=n-n1212则数列｛mS“｝的前n项和Tft=(1+2+…+比)—(—I——+…+22亠二丄(1+2+…+72)-(4+刍+•••+□+斗).222223T2”iT1111Z2+1前两式相减,得才计2+..・+r+歹+…计3-(1)+22",nHn_n(n+0.=:1rR卩1n=1H2.4[12"启22"T2"2例2、数列匕｝的前兀项和为S”,已知勺=丄,S”=n2an-n(n-l),n=1,2,鬃(I)写出S”与S”「的递推关系式(/P2),并求S”关于〃的表达式；>7+1(II)设bn=-—s,“ar求数列❻｝的前斤项和人。解：由S“=也・l

5、)(n32)得：Sz,=n2(Sn・S,「)・”©・1),即77+IVi(/?2-1)S?I・n2Sfh,=n(/i-1),所以SnS_i=l,对沪2成立。n〃・1由—&S”」=1,~s”十仝斗S,”2=1，…，訓-詁=1相加得:nn-1n-1n-221n+11n2Sn-2S]=〃・1,又S]=q=—,所以=,当兀=1时，也成立。n2n+1(II)btl=nxno而仆=x+2x2+3x3+…+(n-l)xn'1+nx11,xTn=x2+2x3+3x4+•••+(n-)xn+nx,l+1,(1-x)Tn=兀+x24-++•••+xn'14-xn・nxn+1=—~・nx,1

6、+11-X例3、己知数列佃｝满足a=a,an+[=]+~我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=l时，得u>l到无穷数列：1,2上,2…;当丄时，得到有穷数列-1,0.2322(I)求当。为何值时6/4=0；(II)设数列｛bn｝满足b

7、=—l,bn+L—^(応"+)，求证。取数列临｝中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛為｝；(I)解法一:vax=。卫卄[=1+2a+1a+1船故当。」訓"0・111122解法二:•••°4=0,1+—=0,@=-1・・・・@=1+—，'a=—.va2=1+—，a=•故当d=时印=°・ay'a?_2一a33(”)解法一：

8、・•g=-m=—^―,bn=丄+l.a取数列｛—｝中的任一个数不妨设a=bn.bn-1b小•••a=b「a2=1+丄=1+-J-=b“.a3=1+丄=1+-^-=hn_2……4bnaib,\an=1+—=1+7~=勺=・1.%+]=0.a„-Xb2故a取数列｛bn｝中的任一个数，都可以得到一个冇穷数列｛禺｝例4、在等差数列｛色｝屮，公差dH0,°2是①与的等比屮项•已知数列a｝,a3,ak｝,%％，…成等比数列，求数列伙”｝的通项心・解：由题意得：a｝=a｝a41分即(a〕+d)2=ai(a］+3d)3分又dH0,%