第五讲傅里叶变换及应用.ppt

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1、第四章傅里叶变换及应用傅里叶变换是积分变换的一种，它可用来求解无界区域上的定解问题。傅里叶变换可以把线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程或常微分方程，从而使问题得到简化.如果满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:如果函数在上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下：一.傅立叶变换反演公式注1：在有些参考文献中,因子被分解成,并且分别含在上述两个式子（1）和（2）中.而在式(1)中的函数写成，从而在式(2)中函数写成.这些本质上同定义（1）（2）没有差别.注2：在三维无界空间中,若是绝对可积函数,则可定义三重傅里叶变换当然，我们也可以定

2、义傅立叶逆变换傅立叶变换的性质:1）线性性质设f,g是绝对可积函数，是任意复常数，则2）微分性质设f,绝对可积函数，则3）乘多项式设f,xf绝对可积，则4）相似性质设f(x)绝对可积，则6）卷积性质设f,g是绝对可积函数，令则5）延迟性质设f(x)绝对可积，则7）积分性质8）频移性质例1用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：解：作关于x的傅立叶变换,方程可变为设二.傅里叶变换的应用可解得由于即则从而方程的解例用积分变换法解方程：解：作关于的傅立叶变换。设方程变为用常数变易法可解得而则傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但1.傅立叶

3、变换要求原象函数在R上绝对可积.大部分函数不能作傅立叶变换。2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效。注：傅里叶变换法求解问题的步骤对方程的两边做傅里叶变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件求常微分方程及定解条件的解对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解数学物理方程+定解条件解常微分方程+定解条件解积分变换逆变换解：取变换符氏例2用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：例3用傅里叶变换求解波动方程的初值问题解：作关于x的傅立叶变换。设于是原方程变为满足初始条件齐次方程的解设非

4、齐次方程的解为令则代入方程得积分上述两式得到非齐次方程的通解为由初始条件取傅立叶逆变换，得的傅立叶变换其中是而所以取傅立叶逆变换，得作业：用傅里叶变换求解无界弦的振动问题P128例5