线性代数第五章.ppt

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1、第五章相似矩阵及二次型讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.本章讨论在理论上和实际应用上都非常重要的矩阵特征值问题,并利用特征值的有关理论,内积的定义主要内容内积的性质n维向量的长度（范数）和夹角第一节向量的内积正交向量组的性质正交基与规范正交基正交矩阵正交变换定义1设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn,[x,y]称为向量x与y的内积.一、内积的定义内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩阵记号表示.当x与y都是列向量时，有[x,y]=xTy.（1）[x,y]=[y,x];（2

2、）[x,y]=[x,y];（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z];（4）[x,x]0,且当x0时有[x,x]>0.下列性质：二、内积的性质设x,y,z为n维向量，为实数，则内积有在解析几何中，我们曾引进向量的数量积度和夹角：广.并且反过来，利用内积来定义n维向量的长念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概所以n维向量的内积是数量积的一种推广.但n(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐标系中，有x·

3、y=

4、x

5、

6、y

7、cos,三、向量的长度和夹角1.长度的定义定义2令

8、

9、x

10、

11、称为n维向量x的长度(或范数).向量的长度具有下列性质:2.长度的性质(1)非负性当x0时,

12、

13、x

14、

15、>0;当x=0时,

16、

17、x

18、

19、=0.(2)齐次性

20、

21、x

22、

23、=

24、

25、

26、

27、x

28、

29、;(3)三角不等式

30、

31、x+y

32、

33、

34、

35、x

36、

37、+

38、

39、y

40、

41、.当

42、

43、x

44、

45、=1时,称x为单位向量.3.向量的夹角向量的内积满足施瓦茨不等式[x,y]2[x,x][y,y],由此可得(当

46、

47、x

48、

49、

50、

51、y

52、

53、0时),于是有下面的定义:定义当

54、

55、x

56、

57、

58、0,

59、

60、y

61、

62、0时,称为n维向量x与y的夹角.量正交.x=0,则x与任何向量都正交,即零向量与任何向当[x,y]=0时,称向量x与y正交.显然,若1.正交向量组的定义定义由两两正交的非零向量构成的向量两两正交的非零向量,则a1,a2,…,ar线性无关.定理1若n维向量a1,a2,…,ar是一组2.正交向量组的性质组称为正交向量组.四、正交向量组的性质例1已知4维向量空间R4中三个向量正交,试求一个非零向量a4,使a1,a2,a3,a4两两正交.1.定义定义设a1,a2,…,ar是向量空间V正交基.且

63、都是单位向量,则称e1,…,er是V的一个规范间V(VRn)的一个基,如果e1,…,er两两正交,定义3设n维向量e1,e2,…,er是向量空则称a1,a2,…,ar是V的一个正交基.(VRn)的一个基,如果a1,a2,…,ar两两正交,五、正交基与规范正交基例2设是例1中所求正交向量组,试求R4的一个规范正交基.2.用规范正交基表示向量即ki=eiTa=[a,ei].得eiTa=kieiTei=ki,为求其中的系数ki(i=1,…,r),用eiT左乘上式,a=k1e1+k2e2+…+krer.示

64、,设表示式为么V中任一向量a应能由e1,e2,…,er线性表若e1,e2,…,er是V的一个规范正交基,那例3设是R4的一个规范正交基,试用e1,e2,e3,e4表示a.3.规范正交基的求法设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基,要正交化:我们可以用以下方法把a1,a2,…,ar规范…,ar这个基规范正交化.a1,a2,…,ar等价这样一个问题,称为把a1,a2,正交的单位向量e1,e2,…,er,使e1,…,er与求V的一个规范正交基.这也就是要找一组两两取b1=a1;容易验证b1,…,br两两

65、正交,且b1,…,br与然后只要把它们单位化,即取a1,…,ar等价.……就得V的一个规范正交基.bk与a1,…,ak等价.等价,还满足对任何k(1kr),向量组b1,…,正交化过程.它不仅满足b1,…,br与a1,…,ar向量组b1,…,br的过程称为施密特(Schimidt)上述从线性无关向量组a1,…,ar导出正交综上所述,求向量空间V的一个规范正交基的一个规范正交基.Step3:把正交基b1,…,br单位化即得V得正交基b1,…,br;Step2:用施密特过程把a1,…,ar正交化,Ste

66、p1:求V的任意一个基a1,…,ar;可归为以下三步:例4设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.例5已知求一组非零向量a2,a3使a1,a2,a3两两正交.1.定义定义4设A为n阶实矩阵,且ATA=E,都是正交矩阵.则称A为正交矩阵.例如六、正交矩阵2.正交矩阵的性质(1)若矩阵A为正交矩阵,则行(列)向量组是两两正交的单位向量组.(3)实矩阵A为正交矩阵的充要条件是A的AT=A-1;(2)实矩阵A为正交矩阵的充要条件是

67、A

68、=;证明略阵,则它