教辅：高考数学二轮复习考点-空间几何体的表面积与体积.doc

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1、考点十三　空间几何体的表面积与体积　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．(2020·天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．12πB．24πC．36πD．144π答案　C解析　正方体的外接球半径等于正方体的体对角线长的一半，即外接球半径R＝＝3，所以这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选C.2.(2020·山东济南6月针对性训练)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若O1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为(　　)A．4πB．5πC．

2、6πD．π答案　C解析　因为该球与圆柱的上、下底面，母线均相切，不妨设圆柱的底面半径为r，故2r＝O1O2＝2，解得r＝1.故该圆柱的表面积为2πr2＋2πr×O1O2＝2π＋4π＝6π.故选C.3．(2020·山东聊城三模)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆

3、中积水深九寸(注：1尺＝10寸)时，平地降雨量是(　　)A．9寸B．7寸C．8寸D．3寸答案　D解析　由已知，得天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸，则盆口的面积为196π平方寸，盆底的面积为36π平方寸．又盆高18寸，积水深9寸，则积水的水面半径为＝10(寸)，积水的水面面积为100π平方寸，积水的体积为V＝×(36π＋＋100π)×9＝588π(立方寸)，所以平地降雨量为＝3(寸)．4．(2020·山东德州高三4月模拟)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠B

4、AC＝，则球O的体积为(　　)A.B．C．4πD．答案　B解析　根据余弦定理，BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝3，故BC＝.根据正弦定理，2r＝＝2，故r＝1(r为△ABC外接圆半径)，设R为三棱锥S－ABC外接球的半径，则R2＝r2＋2＝2，故R＝，故V＝πR3＝.故选B.5．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b

5、值D．是常量答案　D解析　∵EF是定长，Q到EF的距离就是Q到AB的距离，也为定长，即△QEF的底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑动，∴P到平面QEF的距离是定值．即三棱锥P－QEF的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P－QEF的体积是定值，即四面体PQEF的体积是定值．6．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)A．64πB．48πC．36πD．32π答案　A解析　

6、设圆O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2.由正弦定理可得＝2r，∴AB＝2rsin60°＝2.∴OO1＝AB＝2.根据球中圆截面的性质得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝＝＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.7．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则(　　)A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为2答案　ABC解析　设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的

7、一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，C正确；∴正方体的外接球的表面积为4π×()2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为，B正确；线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误．故选ABC.8．(多选)若正三棱柱ABC－A′B′C′的所有棱长都为3，外接球的球心为O，则下列四个结论正确的是(　　)A．其外接球的表面积为21πB．直线AB′与直线BC所成的角为C．AO⊥B′C′D．三棱锥O－ABC的体积为答案　ACD解析　如图，球心O

8、到下底面的距离OO′＝，AO′＝××3＝，所以其外接球的半径R＝＝，所以其外接球的表面积为4πR2＝21π，A正确；直线AB′与直线BC所成的角即直线AB′与直线B′C′所成的角，设其为θ，在△AB′C′中，cosθ＝＝，故B错误；由OO′⊥平面ABC，得OO′