二阶常微分方程解的存在问题分析论文

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1、二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目录§1引言5§2常系数线性微分方程的解法52.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法52.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法72.2.1类型Ⅰ：72.2.2类型Ⅱ：10§3二阶微分方程的降阶和幂级数解法113.1可将阶的一些方程类型113.2二阶线性微分方程的幂级数解法143.3二阶变系数线性微分方程的常系数化163.3.1欧拉方程163.3.2二阶线性微分方程的常系数化17§4拉普拉斯变换18§5二阶微分方程的存在唯一性205.1存在唯一性定理205.2应用举例255.2.1关于二阶线性齐次方程

2、解的零点255.2.2二阶线性非齐次方程的边值问题25致谢28参考文献2926§1引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。§2常系数线性微分方程的解法2.1二阶常系数齐次线性微分方程的解法——特征方程法若是二阶常系数齐次线性微分方程，其中均为常数（2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成（为任意常数）由此可知

3、，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。我们知道，当为常数时，函数和它的各阶导数只相差一个常数。因此，可以设想（2.1）有形如的解，将代入方程（2.1）得：又，则必有（2.2）即如果是（2.1）的解，则必满足方程（2.2）.反之，若满足方程（2.2），则就是（2.1）的一个特解。我们称方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就称为特征根，且特征根.26下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）有两个不相等的实根:，易知和是方程（2.1）的两个线性无关的特解，则方程（2.1）的通解为：；2）有两个相等的实根:易知

4、是方程（2.1）的一个特解，设另一特解为，将代入到（2.1）得：（2.3)又，，则可得，不妨取，代入（2.3）得：，则方程（2.1）的通解为：；3）有一对共轭复根：，易知与是方程（2.1）的两个线性无关的复值解。而，若取，由解的叠加性知，也是方程（2.1）的两个特解，又26，于是，就是方程（2.1）的两个线性无关的实值解。从而方程（2.1）的通解为：。2.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（2.4）的求解问题。这里是常数，是连续函数。我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发，使用常数变易法求出（2

5、.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解问题就已经解决。但是，这样的方法往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。事实上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特解的简便方法——待定系数法。2.2.1类型Ⅰ：设是次多项式，即（）下面来证明：1）当不是特征根时，（2.4）有形如的特解，其中是关于的次待定的多项式，即.262）当是重特征根时，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多项式。中的系数可以由待定系数法求得。证：若，此

6、时，下面分两种情况进行讨论。（i）若不是特征根，（2.4）的特征方程为，则.是次多项式，方程（2.4）有如下形式的特解：（2.5）将（2.5）代人（2.4）得：等式两边的同次幂系数相等，得到一个确定待定系数的方程组：由于，所以上述方程组有唯一解（ii）若是重特征根当时，有，则，，方程（2.4）变为：（2.6）令，则（2.6）式变为：（2.7），不是（2.7）的特征根。26由（i）知，方程（2.7）有形如：的特解。从而，，其中，我们只需求出（2.4）的一个特解，故可取，此时，（2.4）的一个特解为：时，有，则，，方程（2.4）变为：等式两边积分两次得

7、：，其中，.取，则所以，是重特征根时，方程（2.4）有形如的特解。若，作变量变换，代入方程（2.4）可化为：即，（2.8）其中，.由变换知，当（2.8）的特征根为时，（2.4）的特征根就为。从而，方程（2.4）的非零特征根就对应于方程（2.8）的零特征根26，并且重数也相同。因此，利用的结果就有如下结论：当不是特征根时，（2.4）有形如的特解；当是重特征根时，（2.4）有形如的特解。2.2.2类型Ⅱ：其中，分别为两个已知的关于的次和次多项式，为常数。由欧拉公式，得.故可以改写成（2.9）其中，分别是次和次多项式。可以看出，（2.9）式就相当于两个类

8、型Ⅰ形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理，就可求出类型Ⅱ的特解了。叠加原理设有二阶非齐次方程（2.10）且分别是方程的解