实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明.docx

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1、实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明§1.关于实数的基本定理一子列定义1在数列EMBEDEquation.DSMT4中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为EMBEDEquation.DSMT4的子列，记为EMBEDEquation.DSMT4。子列的极限和原数列的极限的关系定理1EMBEDEquation.DSMT4若EMBEDEquation.DSMT4，则EMBEDEquation.DSMT4的任何子列EMBEDEquation.DSMT4都收敛，并且它的极限也等于EMBEDEquation.DSMT4。注：该定理可用来判别EMB

2、EDEquation.DSMT4不收敛。例：证明EMBEDEquation.DSMT4不收敛。推论：若对任何EMBEDEquation.DSMT4：EMBEDEquation.DSMT4都有EMBEDEquation.DSMT4收敛，则EMBEDEquation.DSMT4在EMBEDEquation.DSMT4的极限存在。二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义定理2非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。定理3单调有界数列必收敛.三区间套定理区间套:设EMBEDEquation.DSMT4是一闭区间序列.若满足条件ⅰ>对EMBEDEquati

3、on.DSMT4,有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4;ⅱ>EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4.则称该闭区间序列为为区间套.注：区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.(都不是).例：EMBEDEquation.DSMT4和EMBEDEquation.DSMT4都是区间套.但EMBEDEquation.DSMT4定理4设EMBEDEquation.DSMT4是一闭区间套.则存在唯一的点EMBEDEquation.DSMT4属于所有的区间。注：区

4、间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。四致密性定理定理5任一有界数列必有收敛子列。推论若EMBEDEquation.DSMT4是一个无界数列，则存在子列EMBEDEquation.DSMT4。五Cauchy收敛原理定理6数列EMBEDEquation.DSMT4收敛EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4当EMBEDEquation.DSMT4时，有EMBEDEquation.DSMT4。注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。例：设EMBEDEquation.DSMT4，证明EMBEDEquation.DSMT4

5、发散。例：设EMBEDEquation.DSMT4，证明EMBEDEquation.DSMT4收敛。六有限覆盖定理复盖:先介绍区间族EMBEDEquation.DSMT4.定义(复盖)：设EMBEDEquation.DSMT4是一个数集,EMBEDEquation.DSMT4是区间族.若对EMBEDEquation.DSMT4使得EMBEDEquation.DSMT4,则称区间族EMBEDEquation.DSMT4复盖了EMBEDEquation.DSMT4,或称区间族EMBEDEquation.DSMT4是数集EMBEDEquation.DSMT4的一个复

6、盖.记为EMBEDEquation.DSMT4若每个EMBEDEquation.DSMT4都是开区间，则称区间族EMBEDEquation.DSMT4是开区间族.开区间族常记为EMBEDEquation.DSMT4.定义(开复盖)：数集EMBEDEquation.DSMT4的一个开区间族复盖称为EMBEDEquation.DSMT4的一个开复盖,简称为EMBEDEquation.DSMT4的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例：EMBEDEquation.DSMT4复盖了区间EMBEDEquation.DSMT4,但不能复盖EMBEDEquation.D

7、SMT4。定理7闭区间EMBEDEquation.DSMT4的任一开复盖必有有限子复盖。注：在定理的条件中，若EMBEDEquation.DSMT4不是开区间集，或EMBEDEquation.DSMT4为非闭区间，则从EMBEDEquation.DSMT4中就不一定能选出有限个区间来覆盖。§2闭区间上连续函数性质的证明一有界性定理定理1闭区间EMBEDEquation.DSMT4上的连续函数必定有界。注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。二最大值和最小值定理定理2闭区间EMBEDEquation.DSMT4上的连续函数必定有最大值和最小值。三零点存在定

8、理定理3EMBEDEquation.D