第3章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

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1、《数学分析（1，2，3）》教案第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明§1.关于实数的基本定理前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理3区间套定理4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则6有限覆盖定理

2、一子列定义设为数列，为正整数集的无限子集，且则数列称为数列的一个子列,简记为.注1保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。注2由定义可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序．中的第项是中的第项，故总有．实际上本身也是正整数列的子列．例如，子列由数列的所有偶数项所组成，而子列则由的所有奇数项所组成．又本身也是的一个子列，此时，，注3数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列．例如和都是的非平

3、凡子列．注4子列的下标不是表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。定理数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛．3-15《数学分析（1，2，3）》教案证必要性设，是的任一子列．任给，存在正数，使得当时有．由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛(且与有相同的极限)．充分性考虑的非平凡子列，与．按假设，它们都收敛．由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性，．（9）又既是又是的子列，同样可得（10）(9)式与(10)式给出所以收敛若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数

4、列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散．例如数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于—1，从而发散.再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列发散，故数列发散.由此可见，定理是判断数列发散的有力工具．例：证明不收敛。推论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。证明：若存在着两个不同的极限，选两个不同的子列，共同组成一个数列，则此列不收敛，与前提矛盾。注意与归结原则的区别。二上确界和下确界1区间与邻域设、R，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集称为闭区间，记作[]；数集

5、{}和{}都称为半开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．3-15《数学分析（1，2，3）》教案无限区间:[),,都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．设，．集合称为点的邻域，记作，或简单地写作Ｕ.点的空心邻域定义为或简单地记作，注意的差别在于:不包含点．此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为点的左邻域，简记为去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为．)邻域，其中M为充分大的正数(下同)；邻域，领域．2有界集.确界原理定义设为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M

6、(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．例证明数集为正整数}有下界而无上界．证显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则，且．这就证明了无上界．同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义设是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切，有，即是的

7、上界；（ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则称数为数集的上确界，记作定义设是R中的一个数集．若数满足：3-15《数学分析（1，2，3）》教案（i）对一切，有，即是的下界（ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作上确界与下确界统称为确界．例设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：解先验证（i）对一切，显然有即是的上界．ii对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．类似地可验证定理2由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定

8、是唯一的．又若数集存在上、下确界，则有．注2数集S的确界可能属于，也可能不属于．例设数集有上确界．证明:证设，则对一切有，而，故是数集中最大的数，即，．，则；下面验证．（i）对一切，有，即可是的上界；（ii）对任何，只须取，则从而满足的定义．可达与不可达定理3(确界原理)设为非空数集．若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确