第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明.doc

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1、《数学分析（1，2，3）》教案第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明§1.关于实数的基本定理一子列定义1在数列中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为的子列，记为。子列的极限和原数列的极限的关系定理1若，则的任何子列都收敛，并且它的极限也等于。注：该定理可用来判别不收敛。例：证明不收敛。推论：若对任何：都有收敛，那么在的极限存在。二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义定理2非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。定理3单调有界数列必收敛.三区间套定理区间套:设是一闭区间序列.若满足条件ⅰ>对,有;ⅱ>.则称该闭区间序列

2、为为区间套.注：区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.例：和都是区间套.但都不是.定理4设是一闭区间套.则存在唯一的点属于所有的区间。注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。四致密性定理定理5任一有界数列必有收敛子列。推论若是一个无界数列，则存在子列。五Cauchy收敛原理3-3《数学分析（1，2，3）》教案定理6数列收敛当时，有。注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。例：设，证明发散。例：设，证明收敛。六有限覆盖定理复盖:先介绍区间族.定义(复盖)：设是一个数集,是区间族.若对使得,则称区间族复盖了,或称区间族是数集的一个复盖.记为若每个都是开区间，则称

3、区间族是开区间族.开区间族常记为.定义(开复盖)：数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例：复盖了区间,但不能复盖。定理7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖。注：在定理的条件中，若不是开区间集，或为非闭区间，则从中就不一定能选出有限个区间来覆盖。2闭区间上连续函数性质的证明一有界性定理定理1闭区间上的连续函数必定有界。注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。二最大值和最小值定理定理2闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。三零点存在定理定理3在闭区间连续，且，则在内至少有一个根。证法一(用区间套定理)；证法二(用确界

4、原理)；证法三(用有限复盖定理)。四一致连续性定理3-3《数学分析（1，2，3）》教案定理4闭区间上的连续函数必定一致连续。证法一(用区间套定理)；证法二(用致密性定理)。3-3