《高等数学》上册(课件全集)第2章-导数及微分.ppt

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1、第2章  导数及微分【学习目标】1.了解导数、微分的概念及导数、微分的几何意义,会求曲线的切线和法线方程;2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则;掌握复合函数、隐函数的求导方法;3.了解高阶导数的定义,会求高阶导数;理解二元函数偏导数的概念,会计算简单的二元函数的偏导数;4.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则,会用微分近似公式进行计算.2.1 导数的概念1.问题的提出引例1变速直线运动的速度问题.设一质点从点O出发作变速直线运动,其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t0的瞬时速度,如图2-1所示.我们

2、知道,当质点作匀速直线运动时,其速度v等于经过的路程s与所用时间t之比,即设变速直线运动的质点在时刻t0到t0+Δt内所经过的路程为Δs,即则在时间段Δt内的平均速度显然,时间段Δt越小,质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0),即当Δt→0,平均速度v的极限,便是质点在t0时刻的瞬时速度,即2.导数的定义定义设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义,自变量x在点x0处有改变量Δx(Δx≠0)(也叫自变量的增量)时,相应函数的改变量(也叫函数的增量)为Δy=f(x0+Δ

3、x)-f(x0).当Δx→0时,若比值ΔyΔx的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值,记作f′(x0),即也记作如果极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0处不可导.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导,则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.对每一个x∈(a,b),都对应着函数y=f(x)的一个导数值,于是得到一个新的函数f′(x),这个新的函数f′(x)称为函数y=f(x)的导函数,简称为导数.记作f′(x),即显然,函数y=f(x)在点x0处的导

4、数值f′(x0),就是导函数f′(x)在点x0的函数值.由定义知,引例1中,变速直线运动s=s(t)的质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)=s′(t0),引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率k=f′(x0).3.导数的几何意义由引例2知道,函数y=f(x)在点x=x0处的导数f′(x0),表示曲线y=f(x)上的点M0(x0,y0)的切线斜率,这就是导数的几何意义.如图2-3所示,若切线的倾斜角为α,则如果f′(x0)不存在,即斜率k=tanα不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时,曲线y=f(x)在点M0处

5、有垂直于x轴的切线.在工程技术上,经常要用到法线的有关知识,把过切点且与切线垂直的直线称为法线.根据导数的几何意义,过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为对应的法线方程为当f′(x0)=0时,切线方程为y=y0,法线方程为x=x0.2.2 初等函数的求导法则1.导数的基本公式前一节由导数的定义,求出了几个简单函数的导数,但对于较复杂的函数,用定义求导往往比较困难.为此,本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法,借助这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的导数基本公式如下:2.和、差

6、、积、商的求导法则若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导,那么函数u(x)±v(x),u(x)v(x),(v(x)≠0)都在点x处可导,并且特别地,当u(x)=C(C为常数)时,有[Cv(x)]′=Cv′(x).3.复合函数的导数如果函数u=φ(x)在点x处可导,y=f(u)在对应点u=φ(x)处也可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形,如果y=y(u),u=u(v),v=v(x),且它们在各对应点处的导数存在,则上述公式也叫复合函数求导的链式法则.利用复合函数的链式法

7、则求导时,关键是将所给的复合函数分解成若干个简单的函数,而这些简单函数的导数是可求的.4.高阶导数定义 如果函数y=f(x)的导数f′(x)仍可导,那么[f′(x)]′叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y″,即也记作相应地,f′(x)为函数y=f(x)的一阶导数.一般地,函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为y=f(x)的n阶导数,记作二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.2.3 隐函数及偏导数1.隐函数的导数如果对于x值,通过F(x,y)=0都有确定的y值与之对应,那么由方程F(x,y)=0,也就确定y是x的函数.这种函数关系,

8、隐藏在方程F(x,y)=0之中,所以,把由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.如果y能从方程F(x,y)=0中解出,那么隐函数成为显函数y=f(x),它的导数可按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出的隐函数.2.偏导数函数y

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