《高等数学》上册(课件全集)第2章-导数及微分.ppt

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1、第2章　导数及微分【学习目标】1.了解导数、微分的概念及导数、微分的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；2.熟练掌握基本初等函数求导公式及导数四则运算法则；掌握复合函数、隐函数的求导方法；3.了解高阶导数的定义，会求高阶导数；理解二元函数偏导数的概念，会计算简单的二元函数的偏导数；4.掌握基本初等函数的微分公式及微分的四则运算法则，会用微分近似公式进行计算.2.1　导数的概念1.问题的提出引例1变速直线运动的速度问题.设一质点从点Ｏ出发作变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求质点在任一时刻t0的瞬时速度，如图2-1所示.我们

2、知道，当质点作匀速直线运动时，其速度v等于经过的路程s与所用时间t之比，即设变速直线运动的质点在时刻t0到t0+Δt内所经过的路程为Δs，即则在时间段Δt内的平均速度显然，时间段Δt越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当Δt→0，平均速度v的极限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即2.导数的定义定义设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δx(Δx≠0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)为Δy=f(x0+Δ

3、x)－f(x0).当Δx→0时，若比值ΔyΔx的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f′(x0)，即也记作如果极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.对每一个x∈(a,b)，都对应着函数y=f(x)的一个导数值，于是得到一个新的函数f′(x)，这个新的函数f′(x)称为函数y=f(x)的导函数，简称为导数.记作f′(x)，即显然，函数y=f(x)在点x0处的导

4、数值f′(x0)，就是导函数f′(x)在点x0的函数值.由定义知，引例1中，变速直线运动s=s(t)的质点在t0时刻的瞬时速度ｖ(ｔ０)＝ｓ′(ｔ０)，引例2中曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率k=f′(x0).3.导数的几何意义由引例2知道，函数y=f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)上的点M0(x0,y0)的切线斜率，这就是导数的几何意义.如图２-3所示，若切线的倾斜角为α，则如果f′(x0)不存在，即斜率k=tanα不存在.当曲线y=f(x)在点M0处连续时，曲线y=f(x)在点M0处

5、有垂直于x轴的切线.在工程技术上，经常要用到法线的有关知识，把过切点且与切线垂直的直线称为法线.根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为对应的法线方程为当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.２.2　初等函数的求导法则1.导数的基本公式前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的导数基本公式如下：2.和、差

6、、积、商的求导法则若函数u=u(x)和v=v(x)都在点x处可导，那么函数u(x)±v(x)，u(x)v(x)，(v(x)≠0)都在点x处可导，并且特别地，当u(x)=C(Ｃ为常数)时，有［Ｃｖ(ｘ)］′＝Ｃｖ′(ｘ).3.复合函数的导数如果函数u=φ(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u=φ(x)处也可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，且这个法则可以推广到两个以上的中间变量的情形，如果y=y(u)，u=u(v)，v=v(x)，且它们在各对应点处的导数存在，则上述公式也叫复合函数求导的链式法则.利用复合函数的链式法

7、则求导时，关键是将所给的复合函数分解成若干个简单的函数，而这些简单函数的导数是可求的.4.高阶导数定义　如果函数y=f(x)的导数f′(x)仍可导，那么［f′(x)］′叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y″，即也记作相应地，ｆ′(ｘ)为函数ｙ＝ｆ(ｘ)的一阶导数.一般地，函数y=f(x)的n－1阶导数的导数称为ｙ＝ｆ(ｘ)的n阶导数，记作二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.2.3　隐函数及偏导数1.隐函数的导数如果对于x值，通过F(x,y)=0都有确定的y值与之对应，那么由方程F(x,y)=0，也就确定y是x的函数.这种函数关系，

8、隐藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.如果y能从方程F(x,y)=0中解出，那么隐函数成为显函数y=f(x)，它的导数可按前面方法求出.对于y不能从方程F(x,y)=0中解出的隐函数.2.偏导数函数y