浅谈求函数的定义域的常用方法

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1、浅谈求函数的定义域的常用方法函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。一，已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数

2、大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx，｛x︱x∈R且x≠，k∈z｝和余切函数y=cotx，｛x︱x∈R且x≠，k∈z｝等。例题一求下列函数的定义域：（1）y=（—2）0+㏒（x—2）x2（2）y=lgtanx+解：（1）欲使函数有意义，须满足—2≠0x—1≥0x—2＞0解得：x＞2且x≠3，x≠5x—2≠1∴函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞）x≠0（2）由已知须满足tanx﹥0解得：﹤x﹤（k∈z）x≠-4﹤x﹤416—x2﹥0∴函数的定义域为（-，）∪（0，）∪（，4）二，复合函数求定义域求复合函数

3、定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。例题二（1）已知函数f（x）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f（x2-1）的定义域。（2）已知函数y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f（x）的定义域。（3）已知函数f（x）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域。（4）已知函数y=f（tan2x）的定义域为〔0，〕，求函数f（x）的定义域。分析：（1）是已知f（x）的定义域，求f〔g（x）〕的定义域。其解法是：已

4、知f（x）的定义域为〔a，b〕，求f〔g（x）〕的定义域是解a≤g（x）≤b，即得所求的定义域。（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤3b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。（4）与（2）相似。解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而-≤x≤∴函数y=f（x2-1）的定义域为〔-，〕。（2）∵y=f（2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f（2x+4）中x∈〔0，1〕，令

5、t=2x+4，x∈〔0，1〕，则t∈〔4，6〕，即在f（t）中，t∈〔4，6〕∴f（x）的定义域为〔4，6〕。（3）由-1≤x+1≤2-1≤X2—1≤2得-≤x≤1∴函数y=f（x+1）—f（x2-1）的定义域为〔-，1〕。（4）y=f（tan2x）中x∈〔0，〕，∴2x∈〔0，〕∴tan2x∈〔0，1〕∴函数f（x）的定义域为〔0，1〕。三，含有字母参数的函数求定义域对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。例题三（1）求函数y=（a∈R）的定义域（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。解：（1

6、）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥｝（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤｝（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集（2）解：令1≤x+m≤4①1≤x—m≤4②由①得1—m≤x≤4—m由②得1+m≤x≤4+m当0＜m＜时定义域为〔1+m，4—m〕当m=时定义域为｛x︱x=｝四，由实际意义确定的函数求定义域如果函数是由实际意义确定的，这时应根据自变量的实际意义，确定其取值范围。例题四周长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成图形的面积y与x的函数关系并确定其定

7、义域。解：如图，设AB=2x，则AD==∴y=2x+x2=—x2+Lx3由2x＞0＞0得0＜x＜∴所求的函数为y=—x2+Lx（0＜x＜）。教学设计与反思函数的定义域是高考常考的内容，是重点也是难点，特别是在高中引入了函数的新的概念，让学生集合这一概念来重新理解定义域，是比较困难的。因此在教学过程中应该结合学生的特点来进行教学。3