2017-年清华、北大自主招生-数学模拟试卷(-浙江-)及详细解析.doc

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1、命题人：前进者原创文档2017/82017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）2017年8月·笔试{本卷满分：180分考试时间：150分钟}AB第1题DC一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）．1.如图，在三棱锥中中，已知AB=2，．设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为．2.若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，则所有四位三角形数的个数为．3.已知函数满足，且，则的取值范围是．4.若存在满足下列三个条件的集合、、，则称偶数n为“萌数”

2、：⑴集合、、为集合的3个非空子集，、、两两之间的交集为空集，且；⑵集合中所有数均为奇数，集合所有数均为偶数，所有的3的倍数都在集合中；⑶集合、、所有元素的和分别为，且．对于以下4个说法：①8是“萌数”；②60是“萌数”；③68是“萌数”；④80是“萌数”；其中正确的是．（填所有正确的序号）5.若，其中且，则的值是．第6题6.如图，设斜率为的直线l与椭圆C：交于A、B两点，．当面积取最大值时，直线l的方程为．7.若离散型随机变量满足，且，则清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题

3、人：前进者原创文档2017/8的取值范围为．1.已知，，则的最大值与最小值之和是．2.已知是实部虚部均为正数的复数，则对于说法：①被2整除；②被3整除；③被4整除；④被5整除；正确的是．（填所有正确的序号）3.在圆锥内部放有一个球，它与圆锥的侧面和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为．4.六边形ABCDEF内接于圆O，且，．则此六边形的面积为．5.已知是满足的非负实数，则的最大值是．二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．6.⑴函数．(Ⅰ)令，判断的奇偶性，并讨论的

4、单调性．(Ⅱ)若，设为在的最大值，求的最小值．清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/8⑵设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)设，函数，求证：；(Ⅲ)求证：存在大于0的常数A，使得对任意的正整数p，q，且，满足．清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/81.⑴设数列满足，，．证明：若为有理数，则从某项后为周期数列．⑵数列各项均为正数，且对任意，满足（常数）

5、．(Ⅰ)求证：对任意正数M，存在，当时，有；(Ⅱ)设，为数列的前n项和，求证：对任意，存在，当时，有．清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/82017年清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）参考答案[MATHEMATICSExaminationpaperreferenceanswer]{本卷满分：180分考试时间：150分钟}一、填空题（共12小题，每题10分，计120分）．1考点：立体几何（三棱锥）{难度：★★☆☆☆}答案：22考点：计数，排列{

6、难度：★★★☆☆}答案：16813考点：代数式求值{难度：★★☆☆☆}答案：4考点：集合、数论、分类讨论{难度：★★★☆☆}（2017年中学生学术能力测试）答案：①③④5考点：三角函数（三倍角公式）{难度：★★★☆☆}答案：916考点：解析几何（直线与椭圆）{难度：★★☆☆☆}答案：或7考点：随机变量{难度：★★★★☆}答案：清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/88考点：导数，放缩{难度：★★★☆☆}答案：9考点：复数，费马小定理{难度：★★★☆

7、☆}（2017年中学生学术能力测试）答案：②④10考点：立体几何（球与圆锥）{难度：★★☆☆☆}（2017年全国高中数学联赛天津预赛）答案：11考点：平面几何（特征分析思想，转换法）{难度：★★★☆☆}答案：清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/8图1→图2（将小三角形重新组合）12考点：基本不等式{难度：★★★★☆}（2017年IMO，中国国家队选拔考试）答案：二、解答题（共2小题，13题25分，14题35分，计60分）．13考点：函数、导数讨论

8、的应用{难度：★★★☆☆}(25分)清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/8①清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/8②2017年天津高考数学（理）【解析】（Ⅰ）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+清华、北大自主招生数学模拟试卷（浙江）试卷第13页共13页命题人：前进者原创文档2017/8↗↘↗所以，的单调递增区间是，，单调递减区