上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含答案.docx

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1、上海市交大附中高二年级开学摸底考数学试卷一、填空题1．设（为虚数单位），则．2．已知球的体积为，则该球主视图的面积等于．3．直线（为参数）的斜率为．4．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则．5．已知抛物线上的点，则到准线的距离为．6．如图，以长方体顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为．7．已知关于的实系数方程有模为的虚根，则的取值范围是．8．在四面体中，，，，则、所成的角的余弦值为．9．在空间中，已知一个正方体的条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则．10．

2、已知圆，圆，直线、分别过圆心、，且与圆相交于、两点，与圆相交于、两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为．11．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值为．12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为，给出下列四个结论，正确的是．（1）星形线的参数方程为：（为参数）；（2）若，则星形线及其内部包含个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线在星形线的内部（包含边界）；（4

3、）设星形线围成的面积为，则．二、选择题13．、是复数，下列结论中正确的是（）A．若，则B．C．D．14．如图，在大小为的二面角中，四边形与都是边长为的正方形，则、点间的距离是（）A．B．C．D．15．定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”，设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）A．B．C．D．16．如图，已知正四面体，点、、、、、分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，三棱锥的三条棱、、两两互相垂直，，点在棱上，且．（1）当时，

4、求异面直线与所成角的大小；（2）当三棱锥的体积为时，求的值．18．已知是实数，关于的方程．（1）若，求方程在复数范围内的解；（2）若方程有两个虚数根、，且满足，求的值．19．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．如图，在中，，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且．（1）求球的半径；（2）求点到平面的距离；（3）设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所

5、成角正弦值的范围．21．已知双曲线，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，、为双曲线的左右顶点．（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；（3）若，，动点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．参考答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．（1）（3）（4）二、选择题13．D14．D15．C16．B三、解答题17．（1）；（2

6、）．18．（1），；（2）或．19．（1）证明略；（2）．20．（1）；（2）；（3）．21．（1）；（2）；（3）或．