2013年硕士研究生入学考试概率论习题训练.doc

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1、2013年硕士研究生入学考试概率论习题训练一、填空（或选择）题（每空2分,共20分）1.设A，B为两个随机事件，且，，则0.42.设随机变量与Y相互独立同分布，，,1；则1/23.有三个人，每个人都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中恰有两人的概率是9/644.设随机变量X与Y独立，X服从二项分布，Y服从上的均匀分布。则=；5.有5个人以抓阄方式决定谁得一张电影票，今设={第i人摸到电影票}，,5。则概率1/56.设随机变量服从t分布，给定，数满足，若，则=7.设随机变量的分布函数为，。为使是某随机变量的分布函数，在下列给定的

2、各组值中应取（A）(A).(B).(C).(D).8.设随机变量相互独立，服从两点分布，()，由中心极限定理知，当充分大时，随机变量渐近服从分布(写出该分布的参数)。9.将一枚硬币投掷20次，以分别表示出现正面与反面的次数，则相关系数-1二、（14分）盒中有12只球，其中9只新球。第一次比赛从中任取3球，用后放回，第二次比赛从中再取3球。求：(1)第二次取出的球都是新球的概率；(2)若第二次取出的都是新球，第一次取出的都是新球的概率是多少？解：令={第一次取出个新球}，；B={第二次取出的都是新球}；(1)由全概率公式：==(2)由贝叶斯公式

3、：=0.2381三、（14分）设随机变量(X,Y)具有联合概率密度(1)X与Y是否独立，为什么？(2)求概率P(X+Y£1)。解(1).由于，故X与Y不独立。(2).四、（12分）设随机变量与相互独立，，若，求数学期望及方差。解：由于，五、（12分）设和分别是来自两个相互独立的正态总体的样本，和是两个已知的正实数。试求统计量的概率分布（要求写出分布的参数）。其中和分别是总体和的样本均值和修正样本方差。解：由题设可知，样本和相互独立，所以，且相互独立。从而，也即。又因为，，且两者相互独立。再由分布的可加性知：。从而根据T分布的定义。六、（14分

4、）设总体X的概率密度函数为为来自总体X的样本。(1)分别求和的最大似然估计量及；(2)是否为无偏估计量，为什么？(3)是否为相合估计量，为什么？解：(1)设样本的观测值为，并记，则似然函数为。可见，似然函数关于是单调增加的。由于，所以对于每给定的，在处取到相应的最大值，因此，的最大似然估计值为。接着，将代上述似然函数（非零的一支），并对取对数，可得上式关于求导，并令其为0，可得因为，所以求解上式，可得从而有和的最大似然估计量分别为，(记)(2)总体X的分布函数为因此，的概率密度函数为算得因此，不是无偏估计量。(2)因为，算得，。从而有。可见，

5、是相合估计量。七、（14分）已知某厂生产的钢筋其强度服从正态分布，均未知，某日抽取5根测得强度值如下：，，，，。(1)求参数的置信度为的置信区间。(2)检验假设，(显著性水平为)已知临界值为：七、（14分）解（1），=1.374=0.00872,故置信下限为==5.852410-4置信上限为=于是的置信度为0.99的置信区间[5.8524，0.0421]（2）H0：,H1：，采用t检验法：T=当H0成立时T~t(n-1)，对于,==3.5440<4.6041，故接受H0