专题28 导数及其应用（解答题）（新高考地区专用）（解析版）.docx

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1、专题28导数及其应用（解答题）1．已知函数，（1）讨论函数单调性．（2）是的导数，，求证函数存在三个零点．【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】（1）在和上是递增的，在上是递减的（2）证明见解析【解析】（1）因为，由得，的取值正负和函数单调性随x的变化情况如下表：0极大值极小值所以在和上是递增的，在上是递减的．（2）由（1）知在上单调递减，且，所以且因为所以，设得，则，的取值正负和函数单调性随x的变化情况如下表：00极大值极小值所以在与上是单调递增的，在上是单调递减的

2、．因为，，且，又时，，时，，所以在上各有一个零点，且最多三个零点，故函数恰有三个零点．2．已知函数，(，)（1）当时，讨论函数单调性；（2）设，是函数的两个极值点，当时，求的最小值．【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当时，，求导得，①即时恒成立，函数在上单调递增，无减区间；②即或时，由解得或，所以增区间为，，由解得，所以减区间为，综上：时函数在上单调递增，无减区间；或时，增区间为，，减区间为；（2），，是函数的两个极值点，所以，是

3、方程的两根，所以，，所以，整理得代入得恒成立，即，，时，.3．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，．所以，所以，因为．所以切线方程为．（2）函数的定义域为．因为，所以．令，即，解得或．当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1－0＋极小值所以当时，取得极小值．所以成立．当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以当时，取得极小值．所以成立

4、．当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立．当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以当时，取得极大值．所以不成立．综上所述，．4．已知函数，．（1）当时，令函数，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（2）令，当时，若函数的极小值为，求的值．【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，函数，不等式在区间上有解，则，由，，所以当时，，函数在上单调递增，则，所以，故实数的取值范围．（2）由，可得，，当时，，所

5、以，令，则或，当时，，所以，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的极小值为，由题设知，，即，因为，所以，解得．【名师点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大．5．已知函数．（1）当时，讨论的

6、单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．【解析】（1）由题意知，，令，当时，恒成立，所以当时，，即；当时，，即；所以函数在上单调递增，在上单调递减．（2）因为，由题意知，存在，使得成立．即存在，使得成立；令，，①当时，对任意，都有，所以函数在上单调递减，成立，解得，；②当时，令，解得；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，，解得无解；③当时，对任意的，都有，所

7、以函数在上单调递增，，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为．【名师点睛】根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．6．设函数．（1）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（2）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围．【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案

8、】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）当时，，，设图象上任意一点，切线斜率为．过点的切线方程为．令，解得；令，解得．切线与坐标轴围成的三角形面积为．所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关．（2）由题意，函数的定义域为．因为在上单调递减，所以在上恒成立，即当，恒成立，所以，因为当，，当且仅当时取等号．所以当时，，所以．所以的取值范围为．【名