2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第3讲导数与函数的单调性极值最值问题含解析.doc

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1、第3讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位　利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋1解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故

2、选B.答案　B2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.解析　f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1.答案　13.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－.(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1)

3、)处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积S＝

4、x

5、·

6、y

7、＝×2×＝.(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当a＝1时，f(x)＝ex－1－lnx，f′(x)＝ex－1－.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a＞1时，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞).4.(

8、2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R，f′(x)＝ex＋2x－1.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.(2)f(x)≥x3＋1等价于e－x≤1.设函数g(x)＝e－x(x≥0)，则g′(x)＝－e－x＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x.①

9、若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0，2)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不符合题意.②若0<2a＋1<2，即－0.所以g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)单调递减，在(2a＋1，2)单调递增.由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)·e－2≤1，即a≥.所以当≤a<时，g(x)≤1.③若2a＋1≥2，即a≥，则g(x)≤e－x.由于0∈，故由②可

10、得e－x≤1.故当a≥时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是.考点整合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).易错提醒　求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.2.四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)；(4)(logax)′＝(a>0，且

11、a≠1，x>0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.4.利用导数研究

12、函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f