2020_2021学年新教材高中数学第六章立体几何初步6.6.3球的表面积和体积课时作业含解析北师大版必修第二册20210125274.doc

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1、课时分层作业(五十四)　球的表面积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)A．B．C．8πD．C　[设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.]2．设正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　)A．πcm3B．πcm3C．πcm3D．πcm3D　[由正方体的表面积为24cm2，得正方体的棱长为2cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为πcm3.]3

2、．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为(　　)A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶5A　[设半球的半径为r，圆锥的高为h，则πr2h＝πr3×，所以h＝2r，故选A．]4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(　　)A．S正方体>S球B．S正方体

3、的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是(　　)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cmC　[设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.]二、填空题6．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．　[设大，小两球半径分别为R，r，则所以所以体积和为πR3＋πr3＝.]7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．　[设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长

4、为a＝2R，则a＝，所以正方体的棱长为.]8．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．8π　[过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r＝，∴其表面积S＝4π×()2＝8π.]三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解]　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.10．如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，

5、AF＝FG＝BG＝1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．[解]　由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2.如图所示的正三棱柱ABC－A1B1C1.设上下底面的中心分别为O1，O2，则球心O为O1，O2的中点，连OC，O2C，则O2C＝×(×1)＝，OO2＝1，∴OC＝＝＝，即球半径R＝，∴该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝.11．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A．B．16πC．9πD．A　[如图所

6、示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，∴AO′＝.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝，故选A．]12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．πB．C．D．B　[如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝πr2h＝π×1＝.]13．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧

7、面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．48　[设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.]14．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．　[连接BC1，与B1C交于点O，则O为平面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心

8、O，BC1为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在R