2021届新高考数学学与练2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲解析版）.docx

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1、专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式【考纲要求】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x

2、－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>

3、0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；第15页，总15页③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，

4、就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得不等式的解集f(x)>0__{x

5、xx2}__{x

6、x≠－}Rf(x)<0__{x

7、x1

8、∅__3.不等式恒成立问题　1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k

9、立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.第15页，总15页【考点梳理】考点一：二次函数的解析式【典例1】（2019·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知二次函数满足且.（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，则，所以，解得：，.又，所以.（2）当时，恒成立，即当时，恒成立.设，.则，.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1

10、，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一　(利用“一般式”解题)第15页，总15页设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)

11、＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三　(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.2.（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数满足：任意的，有成立，且最小值为，