判断一个数能否被3整除的方法的数学证明

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1、我记得在初中（或者是在小学），数学书上给出了判断一个数是否能被3整除的方法：若一个数所有位上的数字加起来能被3整除，那么这个数就能被3整除。比如582，它的所有位上的数字之和为：5+8+2=15，15能被3整除，所以582能被3整除，但这个方法的道理何在？它是怎样证明的呢？下面是我的证明方法首先定义一个取余函数，这个函数表示除以后的余数，比如等等那么，我们容易发现；；；；…………对于任一个数来说，比如，它可以表示成如下形式：，那么有得证。比如对上面的数582来说，我们可以写成：582=500+80+2，而500=5×（99+1）=5×99+5；80=8×（9+1）=8×9+8

2、；2=2；则582与582-5×99-8×9=5+8+2=15同余的，因为减去的数都是3的倍数，那么既然582与15同余，且15能被3整除，那么582也就能被3整除。我们也还可以作推广：若一个数所有位上的数字加起来能被9整除，那么这个数就能被9整除。这个命题的证明方法与上面的完全似，这里就不再赘述。