趣味数学005：“怎样判断一个数能否被7整除”的道理

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1、有不少网友，对前面“怎样判断一个数能否被7整除”一文很感兴趣，并且问我，所介绍的方法是什么道理。下面就对这个问题做一些比较简要的解释：首先，任何一种方法的出发点，都是要把原来的数变得小一些，但是，无论怎样变，都不能改变原数对7的整除性，也就是说，原数在变小的过程中，减少的部分必须能被7整除。这是一个根本原则。1、去尾相加法：一个自然数，截去它的末位数字之后，再加上末位数字的5倍，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：一个自然数如果能被7整除，除到最后，那时的“被除数”一定是7的倍数，即7、14、21、28、35、42、49、56、63之一。观察发现：去掉这些数的末位数字后，

2、再加上末位数字的5倍，所得的和能被7整除。如，14的末位数字是4，去掉4以后，新的末位数字是1，1加上4的5倍20，得21，21能被7整除。再如，28的末位数字是8，去掉8以后，新的末位数字是2，2加上8的5倍40得42，42能被7整除。再如，63的末位数字是3，去掉3以后，新的末位数字是6，6加上3的5倍15得21，21能被7整除。至于7，本来就是7的倍数，去掉7以后，新的末位数字是0，0加上7的5倍35得35，当然能被7整除。2、去尾相减法：一个自然数，截去它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：一个自然数如果能被7整除，除到最

3、后，那时的“被除数”一定是7的倍数，即7、14、21、28、35、42、49、56、63之一。观察发现：去掉这些数的末位数字后，再减去末位数字的2倍，所得的差能被7整除。如，14的末位数字是4，去掉4以后，新的末位数字是1，1减去4的2倍8得－7，－7能被7整除。再如，28的末位数字是8，去掉8以后，新的末位数字是2，2减去8的2倍16得－14，－14能被7整除。再如，63的末位数字是3，去掉3以后，新的末位数字是6，6减去3的2倍6得0，0能被7整除。4至于7，本来就是7的倍数，去掉7以后，新的末位数字是0，0减去7的2倍14得－14，当然能被7整除。3、去头相加法：一个自然数(至少有

4、3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设首位数为a，其余的数为b，原数是10na＋b，(n≥2)，后来的数是(2a×10n－2＋b)，比原数减少(10na＋b)－(2a×10n－2＋b)＝10na－2a×10n＝2＝(10n－2×10n－2)a，因为10n－2×10n－2当n＝2、3、4、……时，分别等于98、980、9800、……这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。4、去头相减法：一个自然数(至少有4位)，去掉它的首位数，把首位数从其余的数的前三位数中减去，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除

5、。道理是：设首位数为a，其余的数为b，原数是10na＋b，(n≥3)，后来的数是(b－a×10n－3)，比原数减少(10na＋b)－(b－a×10n－3)＝(10n＋10n－3)a，因为(10n＋10n－3)当n＝3、4、5、……时，分别等于1001、10010、100100、……这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。5、两段相加法：把一个自然数分成两段，末两位数为一段，其余的数为另一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设末两位数为a，其余的数为b，原数是100b＋a，后来的数是a＋2b，比原数减少(100b＋a)－(

6、a＋2b)＝98b，98能被7整除，不影响原数对于7的整除性。6、两段相减法：把一个自然数分成两段，末三位数为一段，其余的数为另一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设末三位数为a，其余的数为b，原数就是1000b＋a，后来的数是a－b，比原数减少(1000b＋a)－(a－b)＝1001b，1001能被7整除，不影响原数对于7的整除性。47、三位分节法：一个自然数从个位向左数，3位一节(最后不足3位时也算一节)，右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、……照这样减加交错，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设这个自然

7、数(以4节为例)的右起各节分别是a、b、c、d，原数是109d＋106c＋103b＋a，后来的数是a－b＋c－d，比原数减少(109d＋106c＋103b＋a)－(a－b＋c－d)＝(109＋1)d＋(106－1)c＋(103＋1)b。因为(109＋1)＝1000000001，(106－1)＝999999，(103＋1)＝1001，这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。8、两位分节法：一个自然数从个位向左，2位一节(最后不足