上海交大数值分析课件数值分析2-5(分段低次插值)

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1、第二章插值法§5分段低次插值一、多项式插值的问题二、分段线性插值三、分段三次Hermite插值一、多项式插值的问题思考：对函数与求插值多项式，是否多项式的次数越高逼近精度越好？答案：否！对次数越高逼近精度越好对次数越高逼近精度越差(龙格现象)如果在区间[-5，5]上取11个等距节点下图对由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多项式P10(x)从图中可以看出，P10(x)仅在区间中部能较好地逼近函数f(x)，在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差。可以证明：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现

2、象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。怎么办?为提高插值精度增加节点多项式次数增加龙格现象拟合效果变差矛盾！解决办法：采用分段低次插值二、分段线性插值1.数学描述设在[a,b]上给出插值条件：xix0x1…xnf(xi)f0f1…fn求一个折线插值函数Ih(x)满足1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数2°Ih(xk)=fk，k=0,1,…,n3°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数则称Ih(x)为分段线性插值函数可否省略？2.表示方法分段表示3.分段线性插值法举例在[-5,5]区间

3、上取5个等分点为插值节点。解：分段表示……几点说明：2°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。1°分段线性插值多项式是分段函数；3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。三、分段三次Hermite插值1.数学描述设在[a,b]上给出插值条件：xix0x1…xnf(xi)f0f1……fn求一个分段插值函数Ih(x)满足2°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是三次多项式则称Ih(x)为分段三次Hermite插值多项式1°2.两种表示方法

4、分段表示3.分段三次插值法的优缺点优点：1°n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。2°因为一阶导数连续，故光滑性较好。缺点：需提供插值点处的一阶导数，这在实际工作中较困难。用较少的导数条件构造较光滑的分段多项式？样条函数法是解决这一问题的途径！作业习题17，19