上海交大数值分析课件数值分析2-3(牛顿插值法)

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1、§3差商与牛顿插值一、差商及其性质三、牛顿插值公式四、牛顿插值法举例二、差商的计算五、牛顿插值法特点一、差商及其性质1.差商的定义二阶差商函数关于一阶差商xi,xj一般的k阶差商定义为特别地，f(x)关于一个点xi的零阶差商定义为函数值本身，即1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性;性质：2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，则思考题：设f(x)=x3，则f[x0,x1,x2,x3]=?,f[x0,x1,x2,x3,x4]=?答：1,0

2、二、差商的计算xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商x0x1x2x3∶∶∶f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)∶∶∶f[x0,x1]f[x1,x2]f[x2,x3]∶∶∶f[x0,x1,x2]f[x1,x2,x3]∶∶∶f[x0,x1,x2,x3]∶∶∶例已知函数y=f(x)的观测数据如下，试构造差商表，并求f[2,4,5,6]的值x02456f(x)159-413解构造差商表如下xif(xi)一阶二阶三阶四阶02456159-41322-13170-515-151由表可知f[2,4,5,6]=5二、

3、牛顿差商插值多项式由差商定义可得又代入得插值余项牛顿插值多项式n=1n=2牛顿插值与拉氏插值的比较：注：牛顿插值只需增加一项，拉氏插值需要重新计算！1.由插值多项式的唯一性，两余项是等价的，即2.牛顿插值法由差商表中的差商值可判断出插值多项式的次数，而拉氏插值法则要计算到最后。两点说明：例已知函数y=f(x)的观测数据如下，试用全部节点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。x02456f(x)159-413四、牛顿插值法举例解构造差商表如下xif(xi)一阶二阶三阶四阶02456159-

4、41322-13170-515-151由表可知用二次插值求f(3)时，取x0=2,x1=4,x2=5,得思考：若本题只给出前三个点，结果如何？请你总结牛顿插值法何时停止？五、牛顿插值法的特点特点1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析作业：习题7,8