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《上海交大数值分析课件数值分析2-1插 值 法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章 插值法数值分析§1引言一、实际背景二、问题的分类三、插值问题的定义一、实际背景基本过程：飞机、汽车的外形设计制造测点插值曲线插值曲面三角函数表、对数表等不在表上的函数值如何求？插值问题：求一条曲线严格通过数据点曲线拟合问题：求一条曲线在一定意义下靠近数据点注：插值问题和曲线拟合问题统称函数逼近问题！二、问题的分类三、插值问题的定义1.插值问题的有关概念设给出关于函数y=f(x)的一组函数值，已知条件xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn其中x0,x1,x2,…,xn是区间[a,b]上的互异点(因为函数是这样的映射：一个x唯一的对应一个y)，求一个简单函数φ(x
2、)作为f(x)的近似表达式，以满足我们称这样的问题为插值问题，并称φ(x)为f(x)的插值函数，f(x)为被插函数，x0,x1,x2,…,xn是插值节(基)点是插值原则.条件思考题当数据点(xi,yi)给定后，满足插值条件的插值函数φ(x)有多少种类型？答有许多种。例如给出平面上两个点，则过这两个点的曲线有无穷多种，可以是代数多项式、三角多项式、有理函数等等，但最简单而最常用的是代数多项式，它有许多良好的性质，故本章仅考虑代数多项式插值问题2.代数多项式插值问题设给出关于函数y=f(x)的一组函数值，xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn其中x0,x1,x2,…,xn
3、是区间[a,b]上的互异点(因为函数是这样的映射：一个x唯一的对应一个y)(一共n+1个节点),已知条件求一个次数不超过n的多项式称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式使满足插值原则(条件)问题：这样的插值多项式是否存在唯一呢？定理在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存在并且唯一。证明设Pn(x)为所求多项式，则这是未知量a0,a1,…,an的线性方程组，其系数行列式是范德蒙行列式因为x0,x1,…,xn的互不相同，故系数行列式不等于0，因此方程组有唯一解，即Pn(x)存在并唯一。注意从定理的证明可以看出，只要通过求解一个线性方程组得出a0,
4、a1,…,an的值，便可以确定Pn(x)了。然而这样构造多项式不但计算量大，而且难以得到Pn(x)的简单公式，因此本章下面几节将介绍几种直接构造Pn(x)的方法。注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。例如ThemathematicianS.hadtomovetoanewplace.Hiswifedidn'ttrusthimverymuch,sowhentheystooddownonthestreetwithalltheirthings,sheaskedhimtowatchtheirtentrunks,whileshe
5、gotataxi.Someminuteslatershereturned.Saidthehusband:"Ithoughtyousaidthereweretentrunks,butI'veonlycountedtonine!"Thewifesaid:"No,they'reTEN!""ButIhavecountedthem:0,1,2,..."Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain.
6、"Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"§2拉格朗日插值一、线性插值三、n次多项式四、插值余项二、二次插值一、线性插值1.线性插值的定义当n=1时
7、的n次代数多项式插值称为线性插值，即：已知在互异点x0,x1处的函数值f(x0)=y0,f(x1)=y1，要构造线性函数L1(x)=a0+a1x，满足L1(xi)=yi，i=0,12.线性插值的几何意义用通过两点(x0,y0)、(x1,y1)的直线y=L1(x)近似代替曲线y=f(x)，如下图所示。y=L1(x)y=f(x)x1x0y0y1xyo3.线性插值公式的推导根据直线的点斜式，有把上式改写成称按如上方法确定的L1(x)为拉格朗日线性插值多项式，其特点为：是两个函数l0(x),l1(x)的线性组合，并且l0(x),l1(x)具有性质
