第11、12讲-三坐标测量机软件算法.ppt

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1、1车身制图山东交通学院汽车工程系主讲：邱绪云09-10第2学期第16周2010-6-172主要讲授内容反求工程；测量机分类；几何元素拟合；作用和类型；第4章车身三坐标测量3CMM软件—常用几何元素拟合与测量最小二乘法；平面内直线的拟合；空间直线的拟合；平面的拟合；圆的拟合；球的拟合；椭圆的拟合；圆柱的拟合；4CMM软件—其他几何量测量点到平面的距离；两平面夹角测量；投影测量（投影点、圆、圆槽、方槽等）；相交关系测量（直线与直线、直线与平面、平面与平面、直线与圆、直线与球）；5最小二乘法最小二乘法是实验数据处理的一种基本方法。它给出了数据处理的一条准则

2、——在最小二乘意义下获得的最佳结果(或最可信赖值)应使残差平方和最小。基于这一准则所建立的一整套的理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一。在三坐标测量CAD系统中，对大量的几何元素进行了拟合，其中应用的基本原理就是最小二乘法，下面给出最小二乘法原理的一般表述。6最小二乘法7最小二乘法由以上两个式子，可得：此式称为残差方程8最小二乘法在等精度测量的情况下，测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出，也就是使最小，这就是等精度测量情况下的最小二乘法。按最小二乘条件则可将残差方程转化为有确定解

3、的代数方程组，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程(或称为法方程)。9最小二乘法测量方程的一般形式为：n>t10最小二乘法相应的估计量为：11最小二乘法其残差方程为：12最小二乘法现在讨论满足什么条件，才能使最小。为此，求残差平方和的极值，即对残差平方和求导，并令其为零，由此可获得一组有确定解的方程，这一方程组的解即为满足上面条件的最小二乘估计量。13最小二乘法根据上面对最小二乘原理的介绍，可看出其在坐标测量程序当中是最基本、最重要的算法，下面就根据这个原理，推导出测量系统所常用的基本几何量。包括直线、平面、圆、椭

4、圆、球、圆柱等。14平面直线的拟合平面内直线的方程一般形式为直线求解也就是求三个参数A,B,C的过程。利用CMM在平面内的直线上任意测量n个不同的坐标点，其坐标值分别设为15平面直线的拟合为了计算的简便性，我们将直线方程简化，直线方程两边同除以参数C，得现在的问题是只要将参数a，b求出，这条平面直线便可唯一确定。16平面直线的拟合利用最小二乘法，令由上式可见，F可以看作是参数a,b的函数，为使的值达到最小，根据多元函数求极值的必要条件，函数分别对a,b求导，并令各个导函数为零：17平面直线的拟合18平面直线的拟合整理得19平面直线的拟合由此得二元线性代

5、数方程组其中：20平面直线的拟合将CMM测量的各个点坐标值依次代入，可得21平面直线的拟合---练习算例：用三坐标测量机测得平面上一组坐标(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)用最小二乘法拟合直线的方程。写出推导过程。22空间直线的拟合拟合一条空间直线，需要知道的元素包括直线的方向余弦及直线上的一个点：则空间直线方程的一般形式为23空间直线的拟合变形为24空间直线的拟合利用CMM在空间直线上任意测量n个不同的坐标点，其坐标值分别设为25空间直线的拟合拟合空间一条直线，其参数必须同时满足以上三个方程，因此，在这儿应用最小二乘法，令目标函数为26空

6、间直线的拟合对于直线上一点我们采用以下方式进行计算27空间直线的拟合可以看作是参数的函数为了使其达到最小，由多元函数求极值的必要条件，函数应分别对求导，并令各个导函数为零，即：28空间直线的拟合29空间直线的拟合由以上三个方程求出，同时已知：可获得空间直线的方程。30平面的拟合平面的一般方程为要拟合一个平面，必须知道参数A,B,C,D即平面的法向矢量。利用利用三坐标测量机在待求平面上任意测量n个不共线三维空间坐标点或利用CAD的捕捉功能拾取已存在的点，其坐标值分别设为31平面的拟合对平面方程进行变形，方程两边同除以D，有32平面的拟合应用最小二乘法，设

7、目标函数为由上式可见，F可以看作是参数a,b,c的函数。为了使其值达到最小，由多元函数求极值的必要条件，函数应分别对a,b,c求导，并令各个导函数为零。33平面的拟合34平面的拟合进一步整理得35平面的拟合引入参数36平面的拟合引入行列式37平面的拟合由参数可确定一个空间中的平面。由此，可求出方程组的解：38圆的拟合拟合圆，需要知道的元素包括圆心坐标，圆的半径R。利用三坐标测量机在圆上测量n个点：然后利用最小二乘法使得这n个点尽量分布在一个圆上(误差最小)，尽而拟合出圆的方程。39圆的拟合设待求圆的方程为待求参数：圆心坐标：圆的半径：40圆的拟合令目标

8、函数为41圆的拟合函数应分别对a,b,c求导，并令各个导函数为零。解此线性方程组可得圆心坐标以