关于幂级数求和的探讨.docx

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1、关于幂级数求和的探讨：数是高等数学程中非常重要的知点，而其中有关数求和是部分内容的重点和点.以下是大家的大学数学，迎大家参考！例1求数∑∞[]n=0xn[]n+1的和函数.解先求收域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收半径R=1.在端点x=-1，数成∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收的交数；在端点x=1，数成∑∞[]n=01[]n+1，是散的.因此收域I=[-1，1].和函数s（x），即s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）于是xs（x）=∑∞[]n=0xn+

2、1[]n+1.（2）利用性3，逐求，并由1[]1-x=1+x+x2+⋯+xn+⋯，（-1得[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（

3、x

4、<1）.（4）上式从0到x分，得xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）于是，当x≠0，有s（x）=-1[]xln（1-x），s1而s（0）可由s（0）=a0=1得出，故（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），，x=0.（6）一、错误及原因分析1.忽略幂级数的起始项例如在求解幂

5、级数∑∞[]n=1xn的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（x）=1[]1-x，而事实上其和应该为s（x）=x[]1-x.该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1.2.忽略和函数的定义域产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻.无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域.3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了

6、收敛域的变化.上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误.4.忽略了收敛域中的特殊点在上述例子式中，利用（5）求s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时，当x≠0时，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，对x=0还要单独求解s（0）.二、求幂级数和函数时应注意的问题及应对措施1.标注和函数的定义域和函数的定义域不同于一般函数的定义域，其定义域事实上为与和函数相对应的幂级数的收敛域，因此在和函数表达式之后应正确标注x的取值范围，即和函数的定义域.为避免在这里出现错误，在求解和函数时，应首先求出所求幂级数的收敛域.严格按

7、照先求收敛域再求和函数的步骤求解能很好地解决这一问题（参看教材[1]中例6）.2.注意收敛域与级数的匹配利用和函数的分析性质求解和函数是解决幂级数求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性质2和性质3，简称为逐项求积和逐项求导.但这两条性质都只说明变化后的级数其收敛半径不发生变化，未对收敛域的情况进行详细说明.事实上，逐项积分后所得幂级数的收敛域有可能扩大，即有可能把收敛区间的端点包含进来；逐项求导后所得幂级数的收敛域有可能缩小，即有可能把收敛域的端点去掉.应对这一问题，只需要在利用逐项求导和逐项求积时，对端点处的收敛性重新判断

8、即可.3.注意等式变化过程中x的取值问题比如在（5）式中，求解s（x）时，需要在等式两边同时除以x.此时x不能取零，但x=0又是收敛域中的点，因此需单独求解（s0）.对这一问题，需要在等式变化过程中，关注x的取值变化.对收敛域中不能取到的点x0，应单独求解s（x0）.可用以下两种方法，方法一：求解x=x0时对应的常数项级数的和.方法二：利用和函数的连续性求解x=x0时对应的常数项级数的和.