幂级数求和的方法研究-毕业论文

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1、幂级数求和的方法研究摘要：本文主要研究如何对幂级数进行求和，主要通过运用幂级数的定义、性质所推导出的七种方法对幂级数求和，并且对这七种方法的典型例题的求解，加深了对幂级数求和方法的了解和运用.此外本文最后简单介绍了幂级数的四个应用.关键词：幂级数;求和;应用中图分类号：O173.1StudyonSummationMethodsofPowerSeriesAbstract：ThispapermainlystudiesonhowtosummatePowerseriesbyapplyingsevenmethodsde

2、ducedbythedefinitionandcharacterstosummatePowerseries.Andtypicalexamplesofthesesevenstrategiestosolvedeepenunderstandinganduseofthepowerseriessummationmethod.Besides,thispaperbrieflyintroduces4applicationsofPowerseries.Keywords：Powerseries;Summate;Applicati

3、on目录1引言12幂级数的定义、性质12.1幂级数定义12.2幂级数的性质23幂级数的求和方法23.1定义法33.2逐项求导法33.3逐项积分法43.4代数方程法53.5微分方程法63.6分项组合法73.7柯西方法84幂级数的应用94.1计算极限94.2三角函数的分析定义114.3解常微分方程的一个应用124.4数的近似计算13结束语14参考文献15致谢16幂级数求和的方法研究1引言级数是高等数学的重要组成部分，其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263年

4、创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题.而今，级数的理论已经相当丰富和完整，在诸多方面有着广泛的应用，可用来表示函数、研究函数的性质，也是进行数值计算的一种工具.幂级数是一类简单的函数项级数，由于具有结果形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数求和就是一个重要的应用.而求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有

5、趣的数学问题.它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算、求积运算、求导运算可以换序.而幂级数更具有收敛半径易求，在上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛区间性质相同，使得幂级数的无限求和运算在收敛区间内可以求极限、求导、求积运算换序，这样就为我们利用幂级数求数项和准备了充分条件.2幂级数的定义、性质2.1幂级数定义形如的函数项级数称为幂级数，这里为实常数，称为幂级数次项系16数.通项是非负次幂级数，其部分和是多项式.所以，幂级数是多项式的推广，可看作为“

6、无穷多项式”.2.2幂级数的性质定理1[1]（阿贝尔第二定理）若幂级数的收敛半径，则幂级数在内闭一致收敛.即在任意区间上一致收敛；若幂级数在处收敛，则它在任意闭区间上一致收敛.根据阿贝尔第二定理，即得到幂级数的如下性质：1.和函数的连续性：幂级数的和函数在其收敛域上连续.2.逐项可积性：幂级数在收敛域中的任意闭区间上可逐项求积分.定理2设和是幂级数收敛域内的任意两点，是幂级数的和函数，则.特别的，取，有逐项积分公式.3.逐项可导性：幂级数在收敛区间内可逐项求导，且幂级数与幂级数具有相同的收敛半径.3幂级数的求

7、和方法幂级数是一种简单的函数项级数，其应用十分广泛，因而探讨幂级数和函数的求法对研究函数级数尤为重要.下面通过实例给出幂级数求和的若干方法.163.1定义法对幂级数，若前项和函数有极限，即存在则此幂级数收敛，且.例3.1求幂级数的和，其中≠，.解当时，3.2逐项求导法根据幂级数的性质3可知，通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数.例3.2[2]求级数的和函数.解由于从而有,又,所以.例3.3[3]求幂级数的收敛半径与和函数.解由于当

8、时，对应的级数及均收敛，故幂级数16的收敛域是.设则（3.1）则对式两次求导，得（3.2）再对式两端从到积分两次,可得到：于是.又所以3.3逐项积分法根据幂级数的性质2及定理2，即通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数，再求导即可.例3.4求级数的和函数解.16例3.5[4]求幂级数的和函数.解设,两边积分.即上式两端求导得和函数:.3.4代数方程法建立以所求幂级数的和为变量的代数方程