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1、1990年第6期杭州师范学院学报1990年11月...No61990JOURNALOFHANGZHOUNORMALCOLLEGENov1990幂级数的求和公式甲合阳夕J二;几了月数学系)摘要.本文运,用微积分算子和它们的运算性质得出幕级数的求和公式.关键饲,,幂级数微分算子级数的和、。大家熟知利用逐项积分法逐项微分法或解微分方程可以求得幂级数的和但是有的解,。、,题过程较复杂有的不易发现解题思路现在我们定义了一种微积分算子利用它们得出,。幂级数的求和公式应用这些公式能简捷地求得某些幂级数的和、1微积分算子的定义,.“”。,·-~·,‘dz为I为方便起见、己算子
2、三、为(ZD)、己算子)()(日7/({Jo,、上Z.”11yZ,y设是的任意阶可微函数运算(ZD)用递推公式。ny=n一‘y,,=dy。,(ZD)(ZD)〔(ZD)〕⋯(ZD)y乙来定义在此定义下微分算子dZ(Z,D)是线性算子即—一一l)(ZD)(y,、y:)=(l卜ZZD)y(ZD)y2)(ZD)(ky)二k(ZD)y(k为常数)我们不难推出”k二“k1)(ZD)ZkZ:‘.’l2)设t’(二)=a。+aX十a:XZ十十anX=a。al。,则f(ZD)yy+(ZD)y、一al(ZD)n了3)f(ZD)Zk二f(k)Zk4)x二lx。x,::,:;,若f(
3、)f()f()(f()f()都是多项式)则=l:=。,yf(ZD),f(ZD)〔f(ZD)yJf(ZD)[f(ZD)」一z。二,一n二z,在函数可积的条件:、O可能是奇点)运算冬Iy(y:())::,()、乙,递推公式n一”一‘Iy二IIy,‘y二··一;“,d(十)(令)[传)](十)刹来定义,在。此定义下积分算子也是线性算子礴;文千1989年10月24日收萝}.:第6期主良渭幂级数的求和公式之自我们不难推出,“_11、,1zkIJ吸’~牛护一l夕Z‘二“、乙,(k+1).了几f(x)=a.+a:x+a:X,+n,X血⋯十a,二口,。,1、夕1rl.、I12
4、了1、I一一1=aoaiy十‘n气书Iyy+、“+a、一芍-1Iy、,、、,乙乙,_1,.。11、,,户‘“-1=‘~万严、正丁了严x=:x:x,x,:X,,f()f()f()(f()f()都是多项式)则y=‘1:y2:y‘‘I‘:‘‘‘‘I(令)(于){({)卜(专)【(于)}、2利用微积分算子得出幕级数求和的公式,、由于幂级数在其收敛区间内可以逐项积分和逐项微分因此我们就可以把微积分算子,。作用于幂级数上于是可以得出如下命题,。甲(命题1设f(x)是多项式若艺nz一z)n二0。nna=则万f()zf(ZD)甲(Z)‘1)n=0。把微分算子多项式f(ZD)
5、作用于等式艺。zn=印(Z)的两边证n=0二。n。n。a=anf(zD)艺z一乏f(zD)z艺f()zn=0n=01二0。f(nazf(z于是艺)一D)甲(z)证毕n=0·x,a。=命题2设f()为一次多项式若艺zn印(Z)n=0_,_1、/1、_‘一.尸丁,an乙。=t一万一l)甲(则艺丁.J,饭乙)(2)(11II/之J/n=0、,命题3设f(x)y(x)都是多项式且nn二,,,a二g()子。(z2⋯)若乏;z一甲(z)n=0、,_、8f(n__二艺)_一a:“则y一气下二丈乙满足微分万程IL匕、Zn=0g(ZD)y二f(ZD)甲(Z)(3)x,x,a。
6、=命题4设f()是多项式g()是一次多项式若艺zn印(Z)n=0念O杭刃哎师范学院学挺主9。吞年____1、__,_二111、「___1.,“a·乙。=“一-‘(乙U)甲(乙)则盛()“七不下了)U乏l)【J(4)皿=0x,x,=命傲5设f(x)和g()是两个互质多项式g(x)的次数不低于f()的次数且g(o)0’gnn=1,,,()子0(2⋯)则8f(1)f(2)⋯ftn)艺ny一Zg(1)g(2)⋯g(n)n二0nnf(1)f(2)⋯f()与y=(一i)。艺Zg(l)g(2)⋯g(n)n=0分别满足微分方程g(ZD)y二f(ZD)(Zy)(5).9y一与(
7、zD)=f(ZD)(Zy)(6)、。运用微积分算子多项式不难证明命解2一53简例·。z)n(n+l)z(zD)〔(zD+l)z〕二(ZD)(ZD+1)艺Z艺一艺l}n=1n=1n=1_____‘「_一.21__.「__~221(乙U+l)-二一一二产=乙.,二一‘下二+一:--气二.乙U)I(.(乙U)I(U少.‘1一乙J‘1一乙1一乙JJ一.22一22J2ZZ、、产IZDz!一“121<1(1一Z)(l一Z)2Znn(n+z)z=即艺(一3121<1lZ)n=1一1,n,一l,,,一1,·2)艺()一z艺()一(zD)z(zD)艺()一z一一n二1n=1n=
8、1,。、Z。[212(1一Z)=2(Z
