二次根式的概念及其乘除运算.doc

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1、二次根式及其乘除运算八年一班1．二次根式的定义和性质(1)定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．(2)性质：①(a≥0)是一个非负数，即0a≥0)；②()2=(a≥0)；③=；④积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．=(a≥0，b≥0)；⑤商的算术平方根等于被除式的算术平方根，除以除式的算术平方根．即=(a≥0，b>0)；(3)()2与的区别：①运算顺序不同：()2先，后．先，后；②字母取值范围不同：()2中的a，中的a；③运算结果不同：()2=，=．2．二次根

2、式的乘除法(1)二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变，即·=(a≥0，b≥0)．(2)二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即=(a≥0，b>0)．当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，直接利用这个公式计算很方便．二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的．3．最简二次根式(1)被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(2)化二次根式为最简二次根式的步骤：一分：分解因数（因式）、平方数（式）；二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；三化：化去被开方数中的分母．4．分母

3、有理化(1)概念：①把分母中的根号化去，叫做分母有理化．②两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．常用有互为有理化因式有以下几种：与(这里的为最简二次根式)互为有理化因式；a+与a–互为有理化因式；+与–或m+n与m–n互为有理化因式．(2)分母有理化的方法有两种：直接约分化去分母中的根号；根据分式的基本性质，分子和分母都乘以分母的有理化因式，可以使分母不含根号．方法与技能[例1](1)下列各式中，哪些是二次根式？(1)(2)(3)(4)(5)(a≥3)(6)思路启迪：判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含

4、有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数．若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式．不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式．(2)当x为怎样的实数时，下列各式有意义？+思路启迪：要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数．(3)若+=0，求的值．思路启迪：①利用二次根式的非负性；②根据几个非负数的和等于零，则这几个数都等于零，将问题转化为解方程组的问题．[例2]计算(1)(3)2+(2)2(2)+()2(3)2×6(4)××(5)×3×(6)(–)(7)6×(8)3÷6(9)÷(10)9÷(11)÷×(12)5÷2×(13)–÷3×(14)

5、÷(–3)×(–3)思路启迪：(1)二次根式的乘除法运算就是利用公式·=(a≥0,b≥0)和=(a≥0,b>0)进行的，二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式．(2)二次根式的乘法运算，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．[例3]化简(1)(2)(3)(4)(a<0)(5)(6)x2(7)(8)(0

6、因数)开出来，从而将二次根式化简．(2)如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。[例4]把下列各式分母有理化：(1)(2)(3)(4)(5)思路启迪：分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．[例5]把根号外面的因式移到根号里面：(1)4(2)x(3)(2–a)思路启迪：．因式内移，是把根号外面的非负因式或因数平方后移到根号内，与根号内的被开方数相乘．运用公式a=(a≥0)及公式·=(a≥0,b≥0)，可将根号外面的非负因式移到根号里面．[

7、例6]比较下列两个数的大小：(1)与3(2)–6与–7思路启迪：一般地，当a>b>0时，>．根据这个性质，根号外面的非负因式移到根号内，就可以比较二次根式的大小。演练与反馈一、慎重抉择(每小题4分，共24分)1．在式子(x>0)，，（x<0），，(y=–2)，，x+y中，二次根式有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2．如果=2–x，那么x取值范围是（）A、x≤2B.x＜2C.x≥2D.x＞23．若x<0，则的结果为（）A、2B、0C、0或–2D、–24．下列计算中正确的是（　　　　）A.=B.=2C.÷=D.÷=35．下列各式不是最简二次根式的是（）A.B.C.

8、D.6．若