二次根式的概念及乘除法运算

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1、教学课题二次根式的概念及乘除法运算教学目标1．理解二次根式的概念．2.理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．.理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简3.理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．4.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．教学重点与难点重点：1.二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．2.·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥

2、0）及它们的运用．3.理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．4.最简二次根式的运用．难点：1.对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2.发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．3．发现规律，归纳出二次根式的除法规定．4.会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入今天我们要学习的是二次根式的概念及它的一些性质，其实前面我们已经学过平方根，而二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。今天我们主要需要掌握二次根式

3、的几个运算性质：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．4.=a（a≥0）．（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等

4、，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．问题2：由勾股定理得AB=问题3：由方差的概念得S=.很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，有意义吗？4.请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式的认识！老师点评:1.表示a的算术平方根2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号

5、4.a≥0,√a≥0(双重非负性)5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．例3．

6、当x是多少时，(1)+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中字母时，要保证分母不为零。例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。所

7、以我们得到：（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0）例1计算1．（）22．（-3）23．（）24．（）2分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）

8、的结论解题．解：略例2计算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．（）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．解略例3在实数范围内分解