称球问题是一类传统的趣味数学问题.doc

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1、称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。 ［经典例题］例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。例2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，

2、请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。　　第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。　　第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，

3、请你用天平只称三次，把次品找出来。解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则　　（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。　　（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再

4、在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。　　（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。L例4有8个球，有一个球较重，其余球一样重，用天平最多称2次找出最重的球。解析：把球分成三组3、3、2，天平每边放三个球，如果天平平衡，再称剩下2个球就可以找出来，如果哪边重，就把重的那边三个里任选两个出来称例5.有12个球，有一个球是坏球，用天平最多称三次找出坏球。第一称第二称第三称①②③④=⑤⑥⑦⑧①②③=⑨⑩⑾⑿坏①②③④=⑤⑥⑦⑧①②③>⑨⑩⑾⑨=⑩11坏①②③④=⑤⑥⑦⑧

5、①②③>⑨⑩⑾⑨<>⑩轻的坏①②③④>⑤⑥⑦⑧①⑤⑥=②⑦⑧③④重的坏①②③④>⑤⑥⑦⑧①⑤⑥>②⑦⑧⑦=⑧①坏①②③④>⑤⑥⑦⑧①⑤⑥>②⑦⑧⑦<>⑧轻的坏①②③④>⑤⑥⑦⑧①⑤⑥<②⑦⑧⑤=⑥②坏①②③④>⑤⑥⑦⑧①⑤⑥<②⑦⑧⑤<>⑥轻的坏①②③④<⑤⑥⑦⑧①⑤⑥=②⑦⑧③④轻的坏①②③④<⑤⑥⑦⑧①⑤⑥>②⑦⑧⑤=⑥②坏①②③④<⑤⑥⑦⑧①⑤⑥>②⑦⑧⑤<>⑥重的坏①②③④<⑤⑥⑦⑧①⑤⑥<②⑦⑧⑦=⑧①坏①②③④<⑤⑥⑦⑧①⑤⑥<②⑦⑧⑦<>⑧重的坏练习有12个外表上一样的球，其中只有一个

6、是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？2.有27个球，有一个球较重，其余球一样重，用天平最少称几次找出最重的球。（最少称三次，方法同上：27=9+9+9    9=3+3+33=1+1+1。）3有12个球，其中一个重量和另外11个不同9用一架没有砝码的天平通过3步找出这个球，并且给出它是重还是轻（把12个球编号：ABCDEFGHIJKL，并称要找的那个球为“优球”先分组：ABCDEFGHIJKL第一步前两组比较（一）相同。那么优球在IJKL中第二步：ABCIJK比较（1）相同那么优球必然是L，将其

7、与A比较，即可知道优球的轻重（2）大于（或小于）所以优球在IJK中并且较轻（或重）从中任取两个比较，相同的话优球就是另一个，否则就是其中较轻（或重）的一个（二）不同（不妨设为大于，否则可以将其编号互换不影响结果）第二步：称量ABECDF（1）相同那么“优球”在GH中，且是较轻，相互比较即可（2）大于那么分析一下就可以知道，优球是AB之一且重，或是F且轻将AFCD比较1。相同，那么优球是B且重2。大于，那么优球是A且重3。小于，那么优球是F且轻（3）小于那么同样地分析一下，可以知道CD之一是优球且重或

8、E是优球且轻第三步可以完全类似地由上面得知4，有14个外表一样的球，有7个正品和7个次品，正品的重量相同，次品的重量相同，并且次品的重量比正品的重量轻，现在你知道哪些是正品和次品，而我们不知道，现有一个无砝码天平，请你最多称3次，来向我们证明那些是正品那些是次品。