称球问题及其推广

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1、称球问题及其推广称球问题一有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。从信息论来看，12个球一个重量异常，出现概率1/12；该球质量可能轻也可能重，那么出现概率为1/2。那么要得到结果所需信息量为log2+log12。称一次可能有轻、重、相等三种结果，信息量为log3。log24/log3<3，三次应该能称出来。异常球出现概率1/12；该球质量可能轻也可能重，那么出现概率为1/2，就是说异常球为轻时，概率为1/24，为重时也是1/24，最后你知道哪个球异

2、常，必然也必须知道它是重于一般球还是轻于一般球，所以，你要在这24种可能中找到对的那一种可能，那么所需信息量为-log1/24=log（2*12），不知道这样解释对不对？将球分为3组，每组4个，任取两组称一次，若两边等重，则异常球在其余一组中，通过8个正常球很容易找出异常球。若两组不等重，假设A组重，B组轻。取A组取两个，B组取一个为甲组；取A组一个、B组1个，正常球一个为乙组，进行称重。若两者相等，没有进入甲乙两组的球中，可能是A组剩余那个超重或是B组剩余的两个轻，将乙组两个称重，若等重则A组剩余那个异常，否

3、则两个中较轻的异常。若甲组重，则甲组中的两个原A组的重或是乙组中原B组的轻，将A组那两个称重，若等重则乙组中原B组的球异常，否则A组中较重的为异常球。若甲组轻，则甲组中原B组的异常或是乙组中原A组的异常，任取一个与正常球对比即可找出异常球。称球问题二原题为：有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。解：设标准小球质量为w，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：　a1,a2,a3,a4为A1组a5,a6,a7,a8为A2组a9,a10

4、,a11,a12为A3组==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果1A1=A2　　则A1/A2组8个小球a1,a2,...,a8均为正常小球，质量均为w则A3组为异常球组重新分组为:B1:a9a10B2:a11a1B3:a12a2====（第二次）取B2B3任意1组--B2与B1进行比较，如果1.1B1=B2则B1B2为正常组，B3(a11,a2)为异常组,因为a2为正常球，所以异常球为a121.2B1B2,则B3为正常组，以B1

5、+a1========（第三次）取a9a10进行比较,如果1.2.1a9=a10则a11为异常球1.2.2a9!=a10则a11为正常球，根据EXP0,异常球质量小于正常球，即a9与a10轻者为异常球2　A1A2,则A3为正常组;以A1

6、B1为例说明:2.1B1B2则B3为正常组即：EXP6:a1+a2+a3>a4+a5+a9EXP7:a6=a7=a8=w其中a9=w关联EXP1:a1+a2+a3+a4-a5-a6-a7-a8相加-a4>a

7、4-2wa4>w则异常球为　a42.3B1=B2则B3为异常组得表达式3:　EXP3:a1=a2=a3=a4=a5=w关联　　　　　EXP1:a1+a2+a3+a4a7,则异常球为　a6称球问题三说明　　这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。正因为需要做到一

8、般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。一、问题　　称球问题的经典形式是这样的：　　“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现