“无刻度天平称球找特殊”问题全解

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1、说明　　  这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。正因为需要做到一般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。 　　一、问题　　称球问题的经典形式是这样的：　　"有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是

2、轻。"　　这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。　　1.如果右重则坏球在1-8号。　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。　　　　　　1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。　　　　　　　　第三次将1号放在左边，2号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　

3、2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　3.这次不可能左重。　　　　　　2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。　　　　　　3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；　　　　　　　

4、　　　2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。　　2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。　　　　第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。　　　　　　1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。　　　　　　2.如果平衡则坏球为12号。　　　　　　　　第三次将1号放在左

5、边，12号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　2.这次不可能平衡；　　　　　　　　　　3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。　　　　　　3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。　　　　　　　　第三次将9号放在左边，10号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。　　3.如果左重则坏球在1-8号。　　　　第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把

6、9-11号放　　　　在右边。就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。　　　　　　1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球轻。　　　　　　　　第三次将6号放在左边，7号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。　　　　　　2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球重。　　　　　　　　第三次将2号放在左边，3号放在右边。　　　　　　　　　　1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；　

7、　　　　　　　　　2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；　　　　　　　　　　3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。　　　　　　3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号，　　　　　　　则它比标准球重；如果是5号，则它比标准球轻。　　　　　　　　第三次将1号放在左边，2号放在右边。　　　　　　　　　　1.这次不可能右重。　　　　　　　　　　2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；　　　　　　　　　　3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；　　够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的，比如第一次称时的右重和右轻，只需考虑一种就可以了，另一种完全可以比照

8、执行。我把整个过程写下来，只是想吓唬吓唬大家。　　稍微试一下，就可以知道只称两次是不可能保证找