（新课标大纲解读）2014高考数学重点难点核心考点全演练专题07平面向量的线性运算及其应用.doc

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1、专题07平面向量的线性运算及其应用2014高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)

2、b

3、cos〈a，b〉叫做b在向量a方向

4、上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则

5、a

6、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

7、A

8、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为

9、我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当

10、a＋b

11、＝

12、a－b

13、时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件

14、a＋b

15、＝

16、a－b

17、等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．考点1、平面向量的线性运算【例1】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1

18、，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量用，表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．【变式探究】(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．考点2、平面向量的数量积【例2】已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若

19、

20、＝7，

21、

22、＝5，则·(－)的值为_____

23、___．【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】(2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足

24、c－a－b

25、＝1，则

26、c

27、的取值范围是________．【例1】已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，

28、一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若

29、a－b

30、＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．1．已知向量a＝(2，x)，b＝(x－1,1)，若a∥b，则x的值为

31、________．【解析】由a∥b，得2－x(x－1)＝0，解得x＝2或－1.【答案】2或－12．已知向量a与b的夹角为120°，

32、a

33、＝3，

34、a＋b

35、＝则

36、b

37、等于________．【解析】向量a与b的夹角为120°，

38、a

39、＝3，

40、a＋b

41、＝，则a·b＝

42、a

43、

44、b

45、·cos120°＝－

46、b

47、，

48、a＋b

49、2＝

50、a

51、2＋2a·b＋

52、b

53、2.所以13＝9－3

54、b

55、＋

56、b

57、2，则

58、b

59、＝－1(舍去)或

60、b

61、＝4.【答案】43．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且

62、a

63、＝

64、b

65、＝1，则向量a与c的夹角为________．4．在△ABC中，

66、已知·＝4