排列组合应用题的解题技巧.doc

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1、排列组合应用题的解题技巧排列组合应用题是高考常见题型，内容独特，解题方法灵活多变，学生普遍感到难以把握，不知怎样解，下面介绍几种常见的解题方法与技巧。一、优先法解排列组合的应用问题应遵循先特殊后一般，先选元素再排列的原则。即对于特殊元素应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；对于特殊位置应先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；这样就会保证分类时既不重复也不遗漏。例1、某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？解：按特殊元素甲、乙进行分类。甲和乙不同去分为三种情况：（1

2、）甲去乙不去，（2）甲不去乙去，（3）甲、乙都不去。当甲去乙不去时，丙去，此时不同的选派方案有（种）当甲不去乙去时，丙不去，此时不同的选派方案有（种）当甲、乙都不去时，丙不去，此时不同的选派方案有（种）所以不同的选派方案共有240+240+120=600（种）例2、三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不排女生，有多少种不同的排法?解：方法一、特殊元素优先考虑：先排女生，从中间6个位置选3个女生去排即：,剩余5个全排列即：。所以共有:方法二、特殊位置优先考虑：先排两端，从5个男生中选2个排两端有：,其余6个全排列即:.所以共有：二、对等法有些限制条件的肯定和

3、否定是对等的，各占全体的二分之一，还有“顺序一定”与“平均分组”问题要用除法，即:判断限制条件中的各种可能出现的情形是否对等的，也就是各种情形出现的概率是否相等。例3、（1）：期中考试安排科目8门，语文要排在数学之前考，共有多少种安排顺序？（2）：四名男生和三名女生按要求站成一排，三名女生顺序一定，则有几种排法?(3)：将6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有几种分法?解：（1）不加任何限制，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文要排在数学之前考共有种安排顺序.(2)7名学生的全排列有种，3名女生有种排序。其

4、中3名女生的每一种排序对应这7名学生的排法是相等的，所以若三名女生顺序一定有种(3)这是“无序均匀分组”问题，不妨记6本书为A、B、C、D、E、F,由于平均分成3堆，3堆书之间无序，所以由分步计数原理得到种分法中的(AB、CD、EF)，（AB、EF、CD），（CD、EF、AB），（CD、AB、EF），(EF、AB、CD)，(EF、CD、AB)共种本质上只算一种，所以共有种。三、插空法对于某两个元素或几个元素要求不相邻的问题，可采用插空法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。例4、同一排电影票12张，现有8个学生，4个老

5、师，要求老师坐在学生中间且老师互不相邻，有多少种坐法？解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中4个空档，共有种选法，所以共有坐法种。四、捆绑法要求某几个元素必须排在一起的问题可以用捆绑法，即视这几个元素合并为一个元素，再与其余元素一起作排列，同时注意合并元素内部也可用排列。例5、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种排法？解：把3个女生视作一人与5个男生作全排列有种，其中女生内部也有种排列，所以共有种排法。五、挡板法对于某些比较复杂的、或比较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问

6、题来求解，最常用的有挡板法。例6、高二年级8个班，组织一个12人的年级学生分会，每班至少1人，名额分配有多少种分法？解：此问题可转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种分法的问题。因此需把这12个白球排成一排，在其11个间隔中放上7个相同的挡板，每一间隔最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。例7、将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法?解：先将n+1个球排成一排，共有（n+1）！种排法，再在它们之间插入挡板，以表示将它们放入不同的盒子中，由于不能出现空盒，因此必须用n-1块挡板分别

7、插在它们两两之间的n个间隔中的n-1个之上，故有种不同的插法，又因放入同一个盒子的两个球无顺序之分，所以一共有种不同的放法。例8、（1）5个相同的小球放入3个不同的房间中，每个房间放球的个数不限，共有多少种不同的放法?（2）n个相同的小球放入m个不同的房间中，每个房间放球的个数不限，共有多少种不同的放法?解：（1）如右图，表示第1房有1球，第2房有2球，第3房有2球。把5个球和2个挡板先看成7个相同的位置元素，从中任取2个位置看成挡板，剩余5个位置看成小球，挡板可以相邻，若相邻，表示对应房间放球个数为0个，故所求不同的放法总数为：(种)（2）同（1）解法知：

8、所求不同的放法总数为：(种)六、一一对应法在组合问题