2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

《2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位

3、长度的弧所对的圆心角为1弧度的角．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad,1rad＝°.(3)扇形的弧长公式：l＝

4、α

5、·r，扇形的面积公式：S＝lr＝

6、α

7、·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α

8、α≠kπ＋，k∈Z}＋－＋－4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P

9、作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线　(Ⅰ)　　　　　(Ⅱ)　(Ⅲ)　　　　　(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角．(　×　)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　×　)(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　√　)(4)点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　√　)(5)α∈(0，)，则tanα>α>sinα.(　√

10、　)(6)α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(　√　)2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)答案　C解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A．1B．4C．1或4D．2或4答案　C解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.4．已知

11、角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.答案　－8解析　因为sinθ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.5．函数y＝的定义域为________．答案　(k∈Z)解析　∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．题型一　角及其表示例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________．(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．思维启迪　(1)利用终边相

12、同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并；(2)根据α的范围求2α的范围，再确定终边位置．答案　(1){α

13、α＝kπ＋，k∈Z}(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上解析　(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α

14、α＝＋kπ，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后

15、通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β

16、β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．　(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是(　　)A．第一象限中的角一定是锐角B．终边相同的角必相等C．相等的角终边一定相同D．不相等的角终边一定不同(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.答案　(1)C　(2)－675°或－315°

17、解析　(1)第一象限角是满足2kπ<α<2kπ＋，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．(2)由终边相同的角关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－67