资源描述：
《2.探索多边形与其中点多边形之间的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、探索多边形与其中点多边形之间的关系题记：寒假时，陈老师向我们提出“多边形与其中点多边形在面积和周长上有怎样的关系”。当时，我们直接反问，“答案是什么。”陈老师说，“我也不知道。我只是想到这个问题。你们回去研究吧。”带着这个问题，整个寒假，我们与陈老师一起探索其中奥秘，并度过一个充实而又愉快的寒假。一：问题背景在同一平面内，顺次连结一n边形各边中点形成的封闭图形，称为中点n边形。如图，已知△ABC，点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，连结DE,EF,DF，求证：△DEF的周长是△ABC周长的一半，△DEF的面积是△ABC的¼。
2、证明：点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点DF=BC,DE=AC,EF=AB△DEF的周长=DE+DF+EF=△ABC的周长这是课本中已经提及的结论：任意三角形的中点三角形的面积是原三角形面积，它的周长是原三角形周长的。那么，①任意四边形和它的中点四边形也有相类似的结论吗？②五边形呢？③N边形呢？二：问题探究1.任意四边形的中点四边形与原四边形在面积和周长上的关系已知：如图，点E,点F,点G,点H是四边形ABCD各边中点，连结EF,FG,GH,EH，问四边形EFGH的周长与四边形ABCD的周长满足怎样的关系？面积呢？并说明理由
3、。四边形EFGH的周长<四边形ABCD的周长四边形EFGH的面积=四边形ABCD的面积理由如下:点E,F,G,H是AB,BC,CD,AD的中点EH=FG=BD,EF=HG=BD四边形EFGH的周长=EF+FG+HG+EH=BD+ACAB+AD>BD,BC+CD>BD,AB+BC>AC,AD+CD>AC2（AB+BC+CD+AD）>2（AC+BD）四边形ABCD的周长>四边形EFGH的周长易得△AEH∽△ABD，同理，，7+++=由此可以得出结论：①任意四边形的中点四边形的周长<原四边形的周长②任意四边形的中点四边形的面积=任意四边
4、形的面积说明：任意四边形的周长与原四边形的周长在比值上并没有规律可寻。在下面的过程中，我们调整战略，只研究N边形的中点N边形与N边形在面积上的关系。当然先从五边形开始研究。2.任意五边形与它的中点五边形在面积上的关系由于五边形图形比四边形复杂，一时摸不出什么头绪，决定先从正五边形入手去研究。①正五边形与它的中点五边形在周长和面积上的关系如图3,是正五边形ABCDE，F、G、H、I、J是各边的中点。过点A作AP⊥GF，连结AC，AD，AI，过点B作BQ⊥AC设AB为x，则AF=x.五边形ABCDE为正五边形∴∠GAF=108°，AB
5、=AEG、F为中点∴AG=AF=x=0.5x∵AP⊥GF∴∠GAP=54°sin54°=即GP=sin54°·0.5x∴GF=sin54°xcos54°=即AP=cos54°·0.5x∴S△AGF==x2·sin54°cos54°易得ΔAGF≌ΔBHG≌ΔCIH≌ΔDJI≌ΔEFJ∴S△AGF+S△BHG+S△CIH+S△DJI+S△EFJ=sin54°cos54°x2∵AB=BC=x，∠ABQ=54°∴cos54°=，sin54°=∴BQ=cos54°x，AQ=sin54°∴AC=2sin54°x7S△ABC==cos54°si
6、n54°x2易得ΔABC≌ΔAED∴SΔAED=cos54°sin54°x2∵CD=x∴CI=x∵∠BCA=36°∴∠ACD=108°-36°=72°tan72°=∴AI=tan72°0.5x∴SΔACD==x2tan72°∴S五边形ABCDE=2cos54°sin54°x2+x2tan72°∴S中点五边形=cos54°sin54°2x2+x2tan72°-sin54°cos54°x2=sin54°cos54°x2+x2tan72°∴===结论：正五边形的中点五边形的面积为原五边形面积的弱化正五边形这个条件，是否也有同样的结论？五
7、条边都相等，且内角都相等的五边形叫做正五边形。我们想从边和角两个方面去逐一弱化。②内角均为108°的五边形与它的中点五边形在面积上的关系如图4，五边形ABCDE的每个内角的度数均为108°，点J,F,G,H,I分别为AB,BC,CD,DE,AE的中点，问五边形EFGHI的面积与五边形ABCDE在面积上有怎样的关系？设AB,BC,CD,DE,AE7分别为a,b,c,d,e点J，点I分别为AB,AE的中点AJ=a,AI=esin108°=sin108°同理=sin108°=sin108°，sin108°，sin108°，sin108°
8、++++=（++++）sin108°过点A作AMBE，过点B作BNCE,过点D作DPCE-（++++）列式过程中，发现计算竟难以下手。我们决定先去几组值看看，是否有一般性结论存在？第一组值：AB=9.48㎝,BC=1.83㎝.CD=8.06㎝,DE
