统考版2022届高考数学一轮复习第2章函数第9节函数与方程教师用书教案北师大版.doc

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1、函数与方程[考试要求]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即

2、相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[

3、a，b]上的图像连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜

4、0.(　　)(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×二、教材习题衍生1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1

5、,6]上的零点至少有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)C　[由题意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间

6、为(2,3)．]3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．1　[∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．]4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．(－∞，4)　[由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4.]考点一　判定函数零点所在区间　判断函数零点所在区间的方法1．设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，

7、e)上均有零点B．在区间，(1，e)上均无零点C．在区间上有零点，在区间(1，e)上无零点D．在区间上无零点，在区间(1，e)上有零点D　[当x∈时，函数图像是连续的，且f′(x)＝－＝＜0，所以f(x)在区间上单调递减，又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，所以函数f(x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D.]2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)A.B.C.D.C　[令f(x)＝x－x，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图像是连续的，且f(0)＝1＞0，f

8、＝－＞0，f＝－＜0，∴f·f＜0，因此x0∈，故选C.]3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a