2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训55抛物线理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(五十五)　抛物线建议用时：40分钟一、选择题1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝yB．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36yD　[将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线

2、E上，则p＝(　　)A．1B．C．2D．2B　[由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝，∵p＞0，∴p＝，故选B．]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OPB　[如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，

3、PQ

4、＝

5、PF

6、，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B．]4．(2020·攀枝花模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且

7、倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，若

8、AF

9、＝3，则此抛物线方程为(　　)A．y2＝xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝2xC　[过点A向x轴作垂线，垂足为E，因为

10、AF

11、＝3，直线AB的倾斜角为60°，所以

12、AE

13、＝

14、AF

15、sin60°＝，

16、EF

17、＝

18、AF

19、cos60°＝，又F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，所以F，因此E，故A，又点A在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以＝2p×，即4p2＋12p－27＝0，解得p＝或p＝－(舍)．故抛物线的方程为y2＝3x.故选C．]5．过抛物线y2＝4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线

20、于A，B两点(xA＞xB)，则＝(　　)A．B．C．3D．2D　[设直线方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立得2x2－5x＋2＝0，所以(2x－1)(x－2)＝0，x1＝，x2＝2.因为xA＞xB，所以xA＝2，xB＝，所以＝＝＝2.]6．(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为(　　)A．B．2C．4D．8C　[如图所示，设准线l与x轴交于点N.则

21、FN

22、＝2.∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝6

23、0°.∴∠MAF＝60°，

24、AF

25、＝4.由抛物线的定义可得

26、MA

27、＝

28、MF

29、，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝×42＝4.故选C．]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则

30、FN

31、＝.y2＝8x　6　[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以

32、FN

33、＝＝

34、6.]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽米．2　[建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y.故当y＝－3时，x2＝6，即x＝.所以当水位降1米后，水面宽2米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若

35、AF

36、＝3，则

37、BF

38、＝.　[法一：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则

39、AF

40、＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2

41、，所以直线AB的斜率为k＝＝2.则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，所以xB＝，所以

42、BF

43、＝＋1＝.法二：由＋＝可知＝1－＝，∴

44、BF

45、＝.]三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求

46、AB

47、＋

48、CD

49、的值．[解]　(1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.∴抛物线的方程

50、为y2＝8x.(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，