高考数学专题练习32立体几何理.docx

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1、训练32立体几何(推荐时间：75分钟)1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥A1B，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1.2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，π∠BCD＝4，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．(1)求证：DE∥平面PAB；(2)求证：平面PAB⊥平面PBC；(3)求四棱锥P－ABCD的体积．3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，

2、E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．(1)求证：BF∥平面A′DE；(2)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．4.直棱柱－1111中，底面是直角梯形，∠BADABCDABCDABCD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由．用心爱心专心-1-5.四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图

3、所示．(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；(3)在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所在的角为θ(0°<θ≤90°)，求cosθ的值．6.如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠AED＝60°，点B为DE中点．(1)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)设二面角A1－BC－A的大小为α，直线AC与平面A1BC所成的角为β，求sin(α＋β)的值．答案1．证明(1)设A

4、B1∩A1B＝O，连接OD.由于点O是AB1的中点，又D为AC的中点，所以OD∥B1C，而B1C平面A1BD，OD?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)因为AB＝BB1，所以ABB1A1是正方形，则A1B⊥AB1，又A1B⊥AC1，且AC1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C1.而A1B?平面ABB1A1，所以平面AB1C1⊥平面ABB1A1.用心爱心专心-2-2．(1)证明如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.在直角梯形ABCD中，F为CB

5、的中点，1∴BF＝2BC＝1.又∵AD∥BC，且AD＝1，∴AD綊BF.∴四边形ABFD是平行四边形，∴FD∥AB.又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，∴平面EFD∥平面PAB.又∵DE?平面EFD，∴DE∥平面PAB.(2)解在直角梯形中，CB⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴CB⊥平面PAB.又∵CB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.(3)解取AB的中点H，连接PH.由(1)知四边形ABFD是平行四边形．∴AB綊DF.又AB⊥BC，∴DF⊥FC.π1在Rt△DFC中，∠BCD＝4，CF＝2BC＝1，∴

6、DF＝1，∴AB＝1.113∴直角梯形ABCD的面积S＝2(AD＋BC)×AB＝2×(1＋2)×1＝2.在正三角形PAB中，H为AB的中点，33∴PH⊥AB，且PH＝2AB＝2.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PH⊥平面ABCD.11333故四棱锥P－ABCD的体积V＝3S×H＝3×2×2＝4.3.(1)证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，1FG＝2CD，1BE∥CD，BE＝2CD，∴FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，用心爱心专心-3-∴BF∥EG.∵EG?平面A′DE，BF

7、?平面A′DE，∴BF∥平面A′DE.(2)解在平行四边形ABCD中，设BC＝a，则AB＝CD＝2a，AD＝AE＝EB＝a，连接CE，∵∠ABC＝120°，在△BCE中，可得CE＝3a，在△ADE中，可得DE＝a，222在△CDE中，∵CD＝CE＋DE，∴CE⊥DE，在正三角形A′DE中，M为DE中点，∴A′M⊥DE，由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE.取A′E的中点N，连接NM，NF，∴NF⊥DE，NF⊥A′M.∵DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE，则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角．31在Rt△FMN中，

8、NF＝2a，MN＝2a，FM＝a，1则cos∠FMN＝2，1∴直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为2.4．