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时间:2021-03-01
《如图:在锐角△ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG的EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是().doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、如图:在锐角△ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG的EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是()分析:根据正方形的性质可得AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,然后求出∠CAE=∠BAG,再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等,根据全等三角形对应边相等可得BG=CE,判定①正确;设BG、CE相交于点N,根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB,然后求出∠CNG=90°,根据
2、垂直的定义可得BG⊥CE,判定②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP,再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确,全等三角形对应边相等可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP=GQ,再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等,根据全等三角形对应边相等可得EM=GM,从而得到AM是△AEG的中线.解:在正方形ABDE和ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,即∠C
3、AE=∠BAG,∵在△ABG和△AEC中,AB=AE∠CAE=∠BAGAC=AG∴△ABG≌△AEC(SAS),∴BG=CE,故①正确;设BG、CE相交于点N,∵△ABG≌△AEC,∴∠ACE=∠AGB,∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°,∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90°)=90°,∴BG⊥CE,故②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,∵AH⊥BC,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAE=90°,∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°,∴∠A
4、BH=∠EAP,∵在△ABH和△EAP中,∠ABH=∠EAP∠AHB=∠P=90°AB=AE,∴△ABH≌△EAP(AAS),∴∠EAM=∠ABC,故④正确,EP=AH,同理可得GQ=AH,∴EP=GQ,∵在△EPM和△GQM中,∠P=∠MQG=90°∠EMP=∠GMQEP=GQ,∴△EPM≌△GQM(AAS),∴EM=GM,∴AM是△AEG的中线,故③正确.综上所述,①②③④结论都正确.故选A.
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