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1、谈解析几何的本质：坐标化的策略解析几何区别于综合几何的最本质特征是它的研究方法,即坐标法,正因为笛卡儿建立了平面坐标系(他建立的其实是斜坐标系,后来的人选择了最简单的情形,即直角坐标系,但仍然称之为笛卡尔坐标系),才得以用代数方法研究几何问题.因此,我们说坐标化方法是解析几何的本质特征,没有坐标化,就没有解析几何这门学科,虽然解析几何的体系建立以后,其研究的对象更加多样了,研究的内容更加丰富了,研究的方法更加灵活了,认识的程度更加深刻了,但是“坐标化”始终是它不变的灵魂.历年的高考中,尽管解析几何试题的载体可能是直线、圆、椭圆、双曲线或抛物线,形式也可以多变,但是根本宗旨还是考查
2、坐标化方法和坐标化思想,坐标化方法,具体地说,就是把图形特征转化为坐标表示,把几何语言转化为代数语言.比如,“两条直线垂直”是几何语言,化为代数语言就是“两条直线的斜率之积等于-1”,等等.而代数语言的分析和计算,是基于坐标的.因此,首先必须有坐标.在具体的题目中,如果坐标没有作为已知条件给出来,则要么求坐标,要么设坐标.一、直接求坐标:釜底抽薪之计有关直线和直线相交、直线和曲线相交的问题,如果直线方程和曲线方程都是已知的,往往可以直接把交点坐标解出来.坐标解出来了,则一切都变成已知的了.有的同学会不屑于干这样的“苦力活”,认为这样做不够“高雅”,有死缠烂打之嫌.其实,此法往往简
3、洁明快,干净利落,即使是数学界的大师级人物,只要条件许可,往往首选这个方法.(1)证明:点P在C上;(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A,P,B,Q四点在同一个圆上.又
4、NP
5、=
6、NQ
7、,
8、NA
9、=
10、NB
11、,所以
12、NA
13、=
14、NP
15、=
16、NB
17、=
18、NQ
19、,可知A,P,B,Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.二、设坐标而不求:暗度陈仓之计设坐标,而不求坐标;以所设的坐标为过渡,把已知条件和未知结论联系起来,从而实现问题的转化.此法常给人以耳目一新的感觉,为师生们所普遍喜欢.例2如图2,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆的左、下顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其
20、中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC并延长,交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB.解(1)(2)直接把相应点的坐标求出来,再进行相关的计算(此处省略).三、设坐标求轨迹:围魏救赵之计求轨迹,其意不在轨迹,仅为手段而已.可谓曲径通幽处,柳暗花明时.(1)求该椭圆的标准方程;(1)求椭圆的离心率e;(1)求椭圆的离心率e;四、用坐标构函数:欲擒故纵之计如果一个(或多个)点在一条已知曲线上运动,要求运动过程中某个目标量的最值或范围,那么往往可设这个(
21、些)点的坐标,把目标量用该坐标表示,得到一个函数,分析求解这个函数问题就可以了.我们知道,函数是高中数学的核心内容,它能揭示更为深刻的内容,搭建更为宏大的舞台,让解析几何的内容搭上函数这条顺风大船,无疑会为问题的解决带来更大的便利.(1)求C的方程;(2)设P为C上的动点,l为C在点P处的切线,求点O到直线l距离的最小值.当然,解析几何的综合问题,代数法、几何法都可以用,而且用曲线的定义,或几何意义,往往会带来简便.但是,解析几何最根本的方法还是坐标法,这是解析几何的根本要义.
