直线与椭圆的位置关系（教师版）.doc

《直线与椭圆的位置关系（教师版）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、直线与椭圆的位置关系一、新课讲解1.当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆＋＝1相交？相切？相离？【解】　由，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝9×43(25－m2)．当Δ>0，即－55或m<－5时,直线和椭圆相离．综上所述，当m>5或m<－5时直线与椭圆相离；当m＝±5时，直线与椭圆相切；当－5

2、，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.变式训练2.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．解：由，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.解得－≤m≤.二．中点弦问题1.焦点分别为(0，5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦中点的横坐标为，求此椭圆的方程．【解】　法一：设所求方程为＋＝1(a>b>0)

3、，且a2－b2＝(5)2＝50.①由，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，设y＝3x－2与椭圆的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵＝，∴＝，∴a2＝3b2　②，由①②解得：a2＝75，b2＝25，此时Δ>0，∴＋＝1.法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线y＝3x－2与椭圆交于A、B两点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②得＝－，即＝＝－.∵kAB＝3，AB中点(x0，y0)，x0＝，y0＝－，∴3＝－＝，∴a2＝3b2.又a2－b2＝(5)2＝50，∴a2＝75，b

4、2＝25，∴椭圆方程为＋＝1.【名师点评】　关于中点的问题一般地可以采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解，同学们可以试一试．不管应用何种方法我们都必须注意判别式Δ的限制．变式训练(2011·高考陕西卷)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又由e＝＝得＝，即1－＝，∴a

5、＝5.∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，∴x1＋x2＝3.又＝－，∴中点坐标为.三、弦长问题已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，求弦长

6、AB

7、.【思路点拨】　→→→→→【解】　椭圆方程为＋＝1，a＝，b＝2，c＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)，由消去y，得9x2＋10x－15＝0.直线

8、方程代入曲线方程，是解这类题目常用方法.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，

9、AB

10、＝

11、x1－x2

12、＝·＝·＝·＝.【名师点评】　当直线与椭圆相交时，两交点间的距离称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．已知椭圆＋＝1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：法一：由分析可知，所求的直线不可能与x轴垂直，故斜率k存在

13、，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是上面的方程的两个根，∴x1＋x2＝.∵P为弦AB的中点，∴2＝＝.解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由分析可知，x1≠x2.∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减，得(x－x)＋4

14、(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝＝－，即kAB＝－.∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法技巧(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何