直线与椭圆位置关系(教师版)

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1、直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.2.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.3..弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

2、P1P2

3、==f(k)（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：

4、若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。)一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线与椭圆的位置关系解：由可得（1）当时，直线与椭圆相交9业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离例题2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即[评述]由直线方程与椭圆方程联立的

5、方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交（2）直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则二、弦长问题例3、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F

6、1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由可得，9业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随解法二：到直线AB的距离由可得，又[评述]在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。例题4、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．由直线方程与椭圆方

7、程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为，设，，则，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．9业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随例题5、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得　①设

8、直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，即．∴．∴直线方程为．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．∵、在椭圆上，∴　　①。　　　　　②从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？例题6、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若

9、直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．9业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得：．解得．方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例题7、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，

10、PQ

11、=，

12、求椭圆方程.【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a