五年级下册数学专项训练小学奥数第五讲同余的概念和性质通用版(习题无答案).docx

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1、第五同余的概念和性你会解答下面的？问题1：今天是星期日，再15天就是“六·一”儿童了，“六·一”儿童是星期几？个并不答.因，一个星期有7天，而15÷7=2⋯1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童是星期一。问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？个也不倒我.因，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦是星期六。问题1、2的是求用7去除某一的天数后所得的余数.在日常生活中，常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数.就生了“同余”的概念.如1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我就15与365于模7同余。同余定：若

2、两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b于模m同余，用式子表示：a≡b（modm）.（*）上式可作：a同余于b，模m。同余式（*）意味着（我假a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.例如：①15≡365（mod7），因365-15=350=7×50。②56≡20（mod9），因56-20=36＝9×4。③90≡0（mod10），因90-0＝90=10×9。由例③我得到启，a可被m整除，可用同余式表示：a≡（0modm）。例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod2）表示b是一个奇数，可以写第1页b≡1（mod2）补充定义：若m（a-b），就说a、b对模

3、m不同余，用式子表示是：ab（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。性质1：a≡a（modm），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（

4、可乘性）。性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm），（其中n为自然数）。性质7：若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如6≡10（mod4），而35（mod4），因为（2，4）≠1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？解：∵288-214=74=37×2。∴288≡214（mod37）。第2页∵74-20=54

5、，而3754，∴7420（mod37）。例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。解：∵418≡2（mod13），814≡8（mod13），1616≡4（mod13），∴根据同余的性质5可得：418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。答：乘积418×814×1616除以13余数是12。例3求14389除以7的余数。分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么

6、规律。解法1：∵143≡3（mod7）∴14389≡389（mod7）∵89＝64+16+8+1而32≡2（mod7），34≡4（mod7），38≡16≡2（mod7），316≡4（mod7），332≡16≡2（mod7），364≡4（mod7）。∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7），第3页∴14389≡5（mod7）。答：14389除以7的余数是5。解法2：得14389≡389（mod7）后，36≡32×34≡2×4≡1（mod7），∴384≡（36）14≡1（mod7）。∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）。∴14389≡5（

7、mod7）。例4四灯如所示成舞台彩灯，且每30秒灯的色改一次，第一次上下两灯互色，第二次左右两灯互色，第三次又上下两灯互色，⋯，一直行下去.开灯1小四灯的色如何排列？分析与解答察我可以，每4次互，四灯的色排列重复一次，而1小=60分=120×30秒，所以道是求120除以4的余数，因120≡0（mod4），所以开灯1小四灯的色排列好同一开始一。十位，⋯上的数，再M=a0＋a1＋⋯＋an，求：N≡M（mod9）。分析首先把整数N改写成关于10的的形式，然后利用10≡1（mod9）。又∵1≡1（m