五年级下册数学专项训练小学奥数第七讲 不定方程的整数解通用版(习题无答案）.doc

《五年级下册数学专项训练小学奥数第七讲 不定方程的整数解通用版(习题无答案）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、五年级下册数学专项训练小学奥数第七讲不定方程的整数解通用版(习题无答案）第七讲从不定方程1/n=1/x+1/y的整数解谈起　　求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程　　显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。　　个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.　　一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1

2、和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：　　t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4，　　这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以　　成一种了。　　以上情况推广到一般情况：求不定方程　　的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则　　就可得到全部解。　　例如，求不定方程：　　（即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。　　按照互补或自

3、补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。　　“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：　　的整数解，例如求解　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。（1，4），（2，2）.可有　　并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）故推断正确。　　在某些问题研究中，并不要求马上找出

4、全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看　　（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：　　它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。　　公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。　　而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如　　　分解。　　上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要　　）的所有因子由小到大排列：1、2、3

5、、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：　　（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12）　　（2，3），（2，4），（2，6），（2，12）　　（3，4），（3，6），（3，12）　　（4，6），（4，12）　　（6，12）　　种情况即可.　　子不是1的，例如　　那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理，求整数解呢？约分后分母为15，所以[x，y]为15，2×15，3×15，…，以下分情况讨论。　　y=15）的情况应排除。　析，如y大于15，　　③y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，…中某一个

6、数的约数；≠单位分数，　　∴排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。　　从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯猜想：　科学家柯召、孙琦等证明了n＜4×105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n<107，1978年又将n推进到了n＜108。　　另有谢平斯基（Sierpinski）猜想：　来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。　　分情况讨论：　　对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有　　又3=x≤

7、y，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解.习题七　　1.求不定方程的全部整数解。　　2.求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。　　3.应用公式（5），证明：　　4.证明：　　5.求不定方程的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有别的角吗？　　6.计算