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《五年级下奥数第七讲《不定方程1n-=-1x-+-1y的整数解》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、笫七讲从不定方程1/n二1/x+1/y的整数解谈起对于形如丄=丄+丄的方程，寻找整数x、y使之满足方程，称为求不定方nxy求不定方程的整数解•这里门是取定的一个自然数•对于方程6xy显见x二尸12是一个整数解•还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看岀一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。由]=丄+_!,两边减去丄，得：oxyx11_16_7=?；通分：罕^匕因此厂冬，这里-6大于0•为了使右端的分数形oxyx-6式更简明，我们不妨把X-6看成一个整体，即令t二X-6,那么口+6・因此厂6賞+0=竿+6,由于淀整数，上式右边也是整数，所以竿也必须是整数，这样我
2、们推知：t是62的因数（约数）。由于是求不定方程
3、=-+丄的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两oxy个未知数X、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个，如6；有因子6、1和36,2和18,3和12,4和9.6称为自补的因子•后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t：二6,t.=1,tJ二36；二2,t：f=18；t;=3,tJ二12；口二4,r2r2=9»—=t/；…，-=t4y,t]上4+6,]=丄+丄的所有解表示成;=oxy611r6+t6+t1所以=丄+丄的全部整数解为:oxyt0=tg=6,116^6+6^6收集到
4、我喜欢11+6+16+36—=—+—■6824?6+26+18111F69186+36+12由于念y地位对等，丄-=-^-的解与丄=鼻1=1的情况我们都看x7y42x42y7成一种了。以上情况推广到一般情况：求不定方程丄=丄+丄（2）nxy的整数解，只要找岀边的全部成组互补因子t和t',则1n=1+1（3）n+tn+tz就可得到全部解。例如，求不定方程:111=一+—12xy据分黑歸歸翩*黔S3）口宀2,它的因子根2。212223243。1248163136122448329183672144按照互补或自补因子配对有：（1,144）,（2,72
5、）,（3,48）,（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。122的因子个数+1_。=O11+1315611—+—;148411—+—;156011—+—;164811一+——183611—+—;203011一+——21281124+24以上罡讨论丄■丄+丄的全部解.自然会想到如果把上式的丄再分解成两彳nxyx“单位分数”（分子为1分母为整数）的利那么我们相当于求：[][[嗽朱3D」找■&釈—=——+——+—mxyz的整数解，例如求解1111—=——+——+—,6xyz'可以^用己经解过的〉丄+丄的5种解，再把其中4分解成丄+丄,例如1=oxyyyz
6、611—+—=1212存卜君,如此等等。总之，求解丄=丄+丄+丄也是有路可循的了•特别，如n是质数，n=p,nxyz丄=}+丄=士+-^•除了P=2以外，p+l是合数再分裂丄，例如p2p2pp+lp+pp+1+op+2(p+l)+(p+l)2利用（p+D2有因子1和（p+D2,因此詁=1111—=++PP+2p(p+l)(p+l)(p+2)11+3x44x5111=—+—+—.512201111111—=—+‘‘+=—+—+‘‘575x66x7730421111111—=一++=—+—+—797x88x995672在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。
7、分成两部分，唯一方式:分成三部分，只有3种方式：明显的有1冷+£+£,先有1=*+£,再借用卜占+£=士+出这两种分解形式（因为，有互补因子（1,4）,（2,2）•可有111111=2+4+4=2+3+6'i=i+ia,333并且可断言只有这三种形式•为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）1分拆为三个单位分数之和，必有一部分而》+的单位分数只有只有;和;不妨设丄》丄》丄，贝』J或丄=二问题转化成：13xyzx2x31=昇4=昇+丄1yz3yz对于前一
8、种情况，1-丄+丄，再用推广的抽屉原理，丄、丄中，不22yzyz妨设丄》丄，必有一个》;丄只有;和、两种情况（显然丄•对于yz4y43y2y=?和j,分别必有丄=2和］归类成1=W2和1=1+扌+；的情况。z64236244对于后一种情况，1=丄+丄，同样用推广的抽屉原理，有丄》茁又2yzy2丄＜丄=£,所以由
9、=丄+丄得丄=孑-2=;也归类成三种形式之中.yx3333yzz333故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找岀全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可
