奥数：第五讲同余的概念和性质

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1、第五讲同余的概念和性质　　你会解答下面的问题吗？　　问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？　　这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。　　问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？　　这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。　　问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注

2、意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。　　同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：　　a≡b（modm）.（*）　　上式可读作：　　a同余于b，模m。　　同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：　　a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.　　例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。　　②56≡2

3、0（mod9），因为56-20=36＝9×4。　　③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。　　由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。　　例如，表示a是一个偶数，可以写　　a≡0（mod2）　　表示b是一个奇数，可以写　　b≡1（mod2）　　补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：　　ab（modm）　　我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而

4、m是自然数）。　　性质1：a≡a（modm），（反身性）　　这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。　　性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm），（对称性）。　　性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm），（传递性）。　　性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm），（可加减性）。　　性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。　　性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（mo

5、dm），（其中n为自然数）。　　性质7：若ac≡bc（modm），（c，m）=1，那么a≡b（modm），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。　　注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。　　例如6≡10（mod4），而35（mod4），因为（2，4）≠1。　　请你自己举些例子验证上面的性质。　　同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？　　解：∵288-214=74=37×2。　　∴288≡

6、214（mod37）。　　∵74-20=54，而3754，　　∴7420（mod37）。例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。　　解：∵418≡2（mod13），　　814≡8（mod13），1616≡4（mod13），　　∴根据同余的性质5可得：　　418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。　　答：乘积418×814×1616除以13余数是12。例3求14389除以7的余数。分析

7、同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。　　解法1：∵143≡3（mod7）　　∴14389≡389（mod7）　　∵89＝64+16+8+1　　而32≡2（mod7），　　34≡4（mod7），　　38≡16≡2（mod7），　　316≡4（mod7），　　332≡16≡2（mod7），　　364≡4（mod7）。　　∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod7），　　

8、∴14389≡5（mod7）。　　答：14389除以7的余数是5。　　解法2：证得14389≡389（mod7）后，　　36≡32×34≡2×4≡1（mod7），　　∴384≡（36）14≡1（mod7）。　　∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod7）。　　∴14389≡5（mod7）。例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.