奥数:第五讲同余的概念和性质

奥数:第五讲同余的概念和性质

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1、第五讲同余的概念和性质  你会解答下面的问题吗?  问题1:今天是星期日,再过15天就是“六·一”儿童节了,问“六·一”儿童节是星期几?  这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而15÷7=2…1,即15=7×2+1,所以“六·一”儿童节是星期一。  问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几?  这个问题也难不倒我们.因为,1993年有365天,而365=7×52+1,所以1994年的元旦应该是星期六。  问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注

2、意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。  同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:  a≡b(modm).(*)  上式可读作:  a同余于b,模m。  同余式(*)意味着(我们假设a≥b):  a-b=mk,k是整数,即m|(a-b).  例如:①15≡365(mod7),因为365-15=350=7×50。  ②56≡2

3、0(mod9),因为56-20=36=9×4。  ③90≡0(mod10),因为90-0=90=10×9。  由例③我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a≡0(modm)。  例如,表示a是一个偶数,可以写  a≡0(mod2)  表示b是一个奇数,可以写  b≡1(mod2)  补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是:  ab(modm)  我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数,而

4、m是自然数)。  性质1:a≡a(modm),(反身性)  这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。  性质2:若a≡b(modm),那么b≡a(modm),(对称性)。  性质3:若a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm),(传递性)。  性质4:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm),(可加减性)。  性质5:若a≡b(modm),c≡d(modm),那么ac≡bd(modm)(可乘性)。  性质6:若a≡b(modm),那么an≡bn(mo

5、dm),(其中n为自然数)。  性质7:若ac≡bc(modm),(c,m)=1,那么a≡b(modm),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。  注意同余式性质7的条件(c,m)=1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。  例如6≡10(mod4),而35(mod4),因为(2,4)≠1。  请你自己举些例子验证上面的性质。  同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。例1判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?  解:∵288-214=74=37×2。  ∴288≡

6、214(mod37)。  ∵74-20=54,而3754,  ∴7420(mod37)。例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。分析若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。  解:∵418≡2(mod13),  814≡8(mod13),1616≡4(mod13),  ∴根据同余的性质5可得:  418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13)。  答:乘积418×814×1616除以13余数是12。例3求14389除以7的余数。分析

7、同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。  解法1:∵143≡3(mod7)  ∴14389≡389(mod7)  ∵89=64+16+8+1  而32≡2(mod7),  34≡4(mod7),  38≡16≡2(mod7),  316≡4(mod7),  332≡16≡2(mod7),  364≡4(mod7)。  ∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod7),  

8、∴14389≡5(mod7)。  答:14389除以7的余数是5。  解法2:证得14389≡389(mod7)后,  36≡32×34≡2×4≡1(mod7),  ∴384≡(36)14≡1(mod7)。  ∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod7)。  ∴14389≡5(mod7)。例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,…,这样一直进行下去.

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