奥数余数和同余讲义

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1、小升初奥数综合训练（十八）余数和同余【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=

2、（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？解：［3,4,5,6］=60,60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数

3、是几？解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。因为：171=m×q+r117=m×（q－3）+r于是171－117=（m×q+r）－（m×q－3m+r）得m=18.【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+

4、88+99除以3的余数是多少？解：由数的整除性质和同余性质可推知：（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99除以3余0.（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.小升初奥数综合训练（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2.77与17对于3同余，它们除以3余1.所以（1+2+1）÷3=1……1。【课后分层练习】A组：入门级1、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？解：这个数减去1后，被2、3、5整除，因而这个数至少是2×3×5＋1=312、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余

5、数的和等于454，除数是多少？解：根据带余除法，被除数=除数×12+26，又被除数+除数=454―12―26=416.即13×除数+26=416，所以除数是30.3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？解：去掉3个人后，总数被3、5、7整除，［3，5，7］=105，因原人数在90～110之间，所以是105+3=108.4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？解：300－262=38262－205=57（38，57）=19因为所求数应是19的因数，19只有1和19两个因数，而1不可能作

6、除数。所以这个整数是19.5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？解：每个月的连续的四个星期日中只有两个日期是偶数，所以这个月必有5个星期日，并且第一个星期日为2号，第三个星期日为16号（16=2+14），第五个星期日为30号（30=2+28）。这个月的15日是星期六（因为1号是星期六，1+14=15，15号也是星期六）B组：进阶级1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。2、有

7、一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为110÷5