奥数：五级奥数.数论.特殊数的余数判定及同余定理（a级）.学生版

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1、特殊数的余数判定及同余定理知识框架一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3

2、和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等

3、于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么与除以m的余数也相同．二、同余定理1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（

4、modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）；0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1

5、）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……重难点一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质

6、，悟出它的一些运用技巧和方法．例题精讲【例1】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】1045除以一个两位数，余数是44．求出符合条件的所有的两位数．【例2】有一个整数，用它去除73，112，165所得到的3个余数之和是60，那么这个整数是______。【巩固】用自然数n去除65，94，129得到的三个余数之和为30，那么n=________．【例3】求的余数【巩固】2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是。【例1】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所

7、得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【例2】除以41的余数是多少？【巩固】已知，问：除以13所得的余数是多少？【例1】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2013个数除以3所得的余数为多少？【巩固】有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2013个数除以6，得到的余数是．【例1】将从

8、1开始的到1013的连续奇数依次写成一个多位数：A＝13579111315171921……10111013。则数a共有_____位，数a除以9的余数是___。【巩固】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【例2】有一个整数，除39,51,147所得的