《最短路径问题(一)》教案.docx

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1、13.4课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1将军饮马问题一、教学目标(一)学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段

2、最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备.【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和“两点之间，线段最短”，则第1页AP+PB的最小值为线段AB的值.【解题过程】连接AB交于直线l于点P，则点P就是所求的点.【答案】如图，则点P就是所求的点.⑶如图，要在

3、燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测（1），根据“两点之间，线段最短”，连接AB即可.【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，则点P就是所求的点.【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短.⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，则点P可能的个数为（）个A.3B.2C.1D.0【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质【思路点拨】将“A，B在直线l的同侧”利用轴对称转化为

4、“A，B在直线l的异侧”，又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.【答案】C【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．（二）课堂设计1.知识回顾⑴两点的所有连线中，线段最短；⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.2.问题探究实际问题转化为数学问题探究一“两点一线”的最短路径问题★▲今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.●活动①创设情境，引入新知第2页师：相传，古希腊亚历山大里亚城

5、里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1.如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可

6、简称为“两点(直线异侧)一线型”.【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:●活动②整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上

7、找到一点C，使AC与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题.此第3页情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动③大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l的